2020年高考数学一轮复习专题5.2平面向量的基本定理练习（含解析）

BC·CD225EC＝＝＝，

BD55

25即圆C的半径为，

5

422

∴P点的轨迹方程为(x－2)＋(y－1)＝. 525

?x＝2＋cos θ，?5

设P(x，y)，则?

25

y＝1＋sin θ??5

0

0

0

0

(θ为参数)，

→→→

而AP＝(x0，y0)，AB＝(0,1)，AD＝(2,0)．

→→→

∵AP＝λAB＋μAD＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)， 1525∴μ＝x0＝1＋cos θ，λ＝y0＝1＋sin θ.

255两式相加，得

255

sin θ＋1＋cos θ 55

λ＋μ＝1＋

＝2＋sin(θ＋φ)≤3?其中sin φ＝

?

?525?，cos φ＝?， 55?

π

当且仅当θ＝＋2kπ－φ，k∈Z时，λ＋μ取得最大值3.

2

7.在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD＝DC＝2，AB＝4，E，F分别为AB，BC的中点，点P在以A为→→→

圆心，AD为半径的圆弧DEM上变动(如图所示)．若AP＝λED＋μAF，其中λ，μ∈R，则2λ－μ的取值范围是．

13

【答案】 ?－

??21?，? 22?

【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，

则A(0,0)，E(2,0)，D(0,2)，F(3,1)， π??π

P(cos α，sin α)?－≤α≤?，

?

2

2?

→→→

即AP＝(cos α，sin α)，ED＝(－2,2)，AF＝(3,1)． →→→∵AP＝λED＋μAF，

∴(cos α，sin α)＝λ(－2,2)＋μ(3,1)， ∴cos α＝－2λ＋3μ，sin α＝2λ＋μ，

11

∴λ＝(3sin α－cos α)，μ＝(cos α＋sin α)，

84π?112?

∴2λ－μ＝sin α－cos α＝sin?α－?.

4?222?ππ

∵－≤α≤，

223πππ∴－≤α－≤.

444∴－

π?122?≤sin?α－?≤.

4?222?

8.如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD(含端点)上运动，P是圆Q→→→

上及内部的动点，设向量AP＝mAB＋nAF(m，n为实数)，求m＋n的最大值．

14

【答案】5

【解析】如图所示，

①设点O为正六边形的中心， →→→则AO＝AB＋AF.

当动圆Q的圆心经过点C时，与边BC交于点P，点P为边BC的中点．连结OP， →→→则AP＝AO＋OP， →→

∵OP与FB共线，

→→

∴存在实数t，使得OP＝tFB， →→→→→→→则AP＝AO＋tFB＝AB＋AF＋t(AB－AF) →→

＝(1＋t)AB＋(1－t)AF，

∴此时m＋n＝1＋t＋1－t＝2，取得最小值．

→5→5→5→→＝5AB②当动圆Q的圆心经过点D时，取AD的延长线与圆Q的交点为P，则AP＝AO＝→＋AF，

22AB＋AF22

()

此时m＋n＝5，为最大值．

→2→→→

9.在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°，点P是△ABC内一点(含边界)，若AP＝AB＋λAC，则|AP|的

3

15

最大值为________． 【答案】

213

3

【解析】 以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立如图所示的坐标系，

∵AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°， ∴A(0,0)，B(3,0)，

C(1，3)，

设点P为(x，y)，0≤x≤3，0≤y≤3， →2→→∵AP＝AB＋λAC，

3

2

∴(x，y)＝(3,0)＋λ(1，3)＝(2＋λ，3λ)，

3

?x＝2＋λ，∴?

?y＝3λ，

∴y＝3(x－2)，① 直线BC的方程为y＝－

3

(x－3)，② 2

7x＝，??3

联立①②，解得?

3y＝，??3→→

此时|AP|最大，∴|AP|＝

491213＋＝. 933

→→→→

10.已知三角形ABC中，AB＝AC，BC＝4，∠BAC＝120°，BE＝3EC，若点P是BC边上的动点，则AP·AE的取值范围是________．

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