最新通用版人教版中考数学一轮复习方程与不等式讲义同步练习含详解

?b2?4ac???b2?4akc??4ac?k?1?.

由证法一知k?1?0， ∴b2?4ac?b2?4akc≥0.

∴??b2?4ac?0. 此时方程②有两个不相等的实数根. 综上, 方程②有两个不相等的实数根.

x2?kx?3训练2. 在正实数范围内，只有一个数是关于x的方程求实?3x?k的解，

x?1数k的取值范围．

【解析】 原方程可化为2x2?3x??k?3??0，①

333，x1?x2?满足条件； 84⑵ 若x?1是方程①的根，得2?12?3?1??k?3??0，解得k??4．此时方

⑴ 当??0时，k??11，故原方程也只有一根x?； 22??k?3?⑶ 当方程①有异号实根时，x1?x2??0，得k??3，此时原方程也

2程①的另一个根为

只有一个正实数根；

⑷ 当方程①有一个根为0时，k??3，另一根为x?一个正实根。

综上所述，满足条件的k的取值范围是k??33或k??4或k≥?3． 83，此时原方程也只有2

2训练3. 对于任意实数k，方程k2?1x2?2?a?k?x?k2?4k?b?0恒有一个实根

??1．

⑴求a、b的值．

⑵求另一根的最大值与最小值．

【解析】 ⑴ 由于1恒为方程的根，所以对任意实数k有

?k2?1??2?a?k??k2?4k?b?0

2即4?1?a?k?b?2a2?1?0

????a?1?4?1?a??0即?解得 ?2b?1???b?2a?1?0k2?4k?bk2?4k?1⑵ 方程的另一根为x2? ?k2?1k2?1去分母，整理得?x2?1?k2?4k?x2?1?0

由于k是任意实数，故必有??16?4?x2?1?≥0，即?x2?1?≤4

2221

即?2≤x2?1≤2，即?1≤x2≤3 当x2??1时，k?44??1；当x2?3时，k??1．

2??1?1?2?3?1?所以，当k??1时，x2取到最小值?1；当k?1时，x2取到最大值3．

训练4. 已知：关于x的一元二次方程?x2?(m?4)x?4m?0，其中0?m?4．

⑴求此方程的两个实数根（用含m的代数式表示）； ⑵设抛物线y??x2??m?4?x?4m与x轴交于A、（A在B的左侧），B两点

若点D的坐标为?0，?2?，且AD?BD?10，求抛物线的解析式； ⑶已知点E?a，y1?、F?2a，y2?、G?3a，y3?都在⑵中的抛物线上，是否存在含有y1、y2、y3，且与a无关的等式？如果存在，试写出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由．

【解析】 ⑴ 将原方程整理，得x2?(m?4)x?4m?0，

??b2?4ac?[?(m?4)]2?4(4m)?m2?8m?16?(m?4)2?0

(m?4)?(m?4)∴x?．

2∴x?m或x?4．

0?、⑵ 由⑴知，抛物线y??x2??m?4?x?4m与x轴的交点分别为?m，?4，0?，

∵A在B的左侧，0?m?4．

0?，B?4，0?． ∴A?m，则AD2?OA2?OD2?m2?22?m2?4， BD2?OB2?OD2?42?22?20．∵AD?BD?10，∴AD2?BD2?100． ∴20(m2?4)?100． 解得m??1． ∵0?m?4，∴m?1． ∴m?4?5，?4m??4．

∴抛物线的解析式为y??x2?5x?4.

⑶ 答：存在含有y1、y2、y3，且与a无关的等式， 如：y3??3(y1?y2)?4（答案不唯一）．

证明：由题意可得y1??a2?5a?4，y2??4a2?10a?4，

y3??9a2?15a?4． ∵左边=y3??9a2?15a?4． 右边=－3(y1?y2)?4

??3[(?a2?5a?4)?(?4a2?10a?4)]?4

=?9a2?15a?4． ∴左边=右边．

∴y3??3(y1?y2)?4成立．

整数根主要掌握整数分离方法，有理根主要掌握因式分解方法，定值或定根主要掌握0k?0方法，等量关系表示主要掌握线性表示．

23

实战演练

【演练1】 已知关于x的方程m2?mx2?2mx?1?0①有两个不相等的实数根． ⑴求m的取值范围；

⑵若m为整数，且m?3，a是方程①的一个根，求代数式

2a2?122a?3a??3的值．

4【解析】 ⑴ ∵方程有两个不相等的实数根

∴方程为一元二次方程

∴m≠0且m≠1 ∴m2?m≠0，??由?2m??4?m2?m??0得m?0

2∴m的取值范围为m?0且m≠1 ⑵ 由⑴m?0且m?1

又∵m?3，m为整数

∴m?2

∴原方程为2x2?4x?1?0 ∵a是该方程的一个根 ∴2a2?4a?1?0

∴2a2?3a?a?1，2a2?1?4a

4a原式?a?1??3?24

【演练2】 已知：关于x的一元二次方程mx2?3(m?1)x?2m?3?0 (m为实数)

⑴若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； ⑵求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根；

⑶若m为整数，且方程的两个根均为正整数，求m的值. 【解析】 ⑴ ??b2?4ac???3(m?1)??4m(2m?3)?(m?3)2

2∵方程有两个不相等的实数根， ∴(m?3)?0 且 m?0 ∴ m?3且 m?0

∴m的取值范围是m?3且 m?0 ⑵ 证明：由求根公式

2?b?b2?4ac3(m?1)?(m?3)x??

2a2m3m?3?m?32m?33∴ x1???2?

2mmm3m?3?m?3x2??1

2m∴无论m为何值，方程总有一个固定的根是1. ⑶ ∵m为整数，且方程的两个根均为正整数