最新通用版人教版中考数学一轮复习方程与不等式讲义同步练习含详解

综合训练1

训练1. 已知实数a，b，c，m，n满足mn?1，mc?2b?na?0，求证：关于x的

一元二次方程ax2?2bx?c?0必有实数根． 【解析】 ∵mc?2b?na?0，∴2b??mc?na，∴4b2?m2c2?2mnac?n2a2

???2b??4ac?4b2?4ac

2①当ac?0时，??0

??m2c2?2mnac?n2a2?4ac??mc?na??4ac?mn?1?≥0 ②当ac≥0时，

2∴关于x的一元二次方程ax2?2bx?c?0必有实数根．

训练2. 已知k为整数，若关于x的一元二次方程kx2??2k?3?x?1?0有有理根，求

k的值．

【解析】 ∵方程有有理根

∴判别式???2k?3??4k为完全平方数．

2设?2k?3??4k?m2（m为正整数），即

24k2?8k?9?m2?0，?2k?2??m2??5

2所以?2k?2?m??2k?2?m???5?5???1??1???5? ∵2k?2?m和2k?2?m为整数，且2k?2?m?2k?2?m ?2k?2?m?5?2k?2?m?1∴?或? ?2k?2?m??1?2k?2?m??5解得k?0， k??2． ∵方程为一元二次方程 ∴k?0 ∴k??2．

训练3. 对于任意实数k，方程k2?1x2?2?a?k?x?k2?4k?b?0总有一个根为

2??1．

⑴ 求实数a，b；⑵ 求另一根的范围.

【解析】 先把一个根为1代入原方程，利用特殊值或者形式变换来求出a，b．

⑴ x1?1是原方程的解，代入得：

?k2?1??2?a?k??k2?4k?b?0，

2即4?1?a?k?b?2a2?1?0．

由于k取任何实数上式总成立，于是有：

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??

??4?1?a??0 ?2b?2a?1?0???a?1，解得：?

b?1.??a?1⑵ 将?代入原方程得：

b?1??k2?1?x2?2?k?1?x?k2?4k?1?0

2因为x1?1，

k2?4k?1所以x2?x1x2?

k2?1整理得：?x2?1?k2?4k?x2?1?0

当x2?x1?1时，k?0符合题意．

当x2?1，k为实数时，表示关于k的一元二次方程有实数根， 于是??16?4?x2?1?≥0，

2即?x2?1?≤4，

2?2≤x2?1≤2??1≤x2≤3．

∴另一根的范围为?1≤x≤3．

【点评】 在⑴中，由条件知k为任意实数，方程总有实根为1，故可对k取特殊值．当

k?0时，x?1；当k?1时，x?1，从而求得a，b的值．需要注意的是，

这个题目所渗透的思想在一次函数学习中也出现过．在⑵中使用判别式法求另一根的范围，有一定的技巧，要好好体会．

训练4. 已知：关于x的一元二次方程?x2?(m?4)x?4m?0，其中0?m?4．

⑴求此方程的两个实数根（用含m的代数式表示）； ⑵设抛物线y??x2??m?4?x?4m与x轴交于A、（A在B的左侧），B两点

若点D的坐标为?0，?2?，且AD?BD?10，求抛物线的解析式； ⑶已知点E?a，y1?、F?2a，y2?、G?3a，y3?都在⑵中的抛物线上，是否存在含有y1、y2、y3，且与a无关的等式？如果存在，试写出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由．

【解析】 ⑴ 将原方程整理，得x2?(m?4)x?4m?0，

??b2?4ac?[?(m?4)]2?4(4m)?m2?8m?16?(m?4)2?0

(m?4)?(m?4)∴x?．

2∴x?m或x?4．

0?、⑵ 由⑴知，抛物线y??x2??m?4?x?4m与x轴的交点分别为?m，?4，0?，

∵A在B的左侧，0?m?4．

0?，B?4，0?． ∴A?m，则AD2?OA2?OD2?m2?22?m2?4， BD2?OB2?OD2?42?22?20．∵AD?BD?10， ∴AD2?BD2?100． ∴20(m2?4)?100． 解得m??1． ∵0?m?4， ∴m?1．

∴m?4?5，?4m??4．

∴抛物线的解析式为y??x2?5x?4.

⑶ 答：存在含有y1、y2、y3，且与a无关的等式， 如：y3??3(y1?y2)?4（答案不唯一）．

证明：由题意可得y1??a2?5a?4，y2??4a2?10a?4，

y3??9a2?15a?4． ∵左边=y3??9a2?15a?4． 右边=－3(y1?y2)?4

??3[(?a2?5a?4)?(?4a2?10a?4)]?4

=?9a2?15a?4． ∴左边=右边．

∴y3??3(y1?y2)?4成立．

整数根主要掌握整数分离方法，有理根主要掌握因式分解方法，定值或定根主要掌握0k?0方法，等量关系表示主要掌握线性表示．

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综合训练2

训练1. 已知关于x的一元一次方程kx?x?2①的根为正实数，二次函

y?ax2?bx?kc?c?0?的图象与x轴一个交点的横坐标为1.

⑴若方程①的根为正整数，求整数k的值；

(kc)2?b2?ab⑵求代数式的值；

akc⑶求证: 关于x的一元二次方程ax2?bx?c?0②必有两个不相等的实数根. 依题意k?1?0.

2∴x?.

k?1∵方程的根为正整数，k为整数, ∴k?1?1或k?1?2. ∴k1?2，k2?3.

⑵ 解：依题意，二次函数y?ax2?bx?kc的图象经过点?1，0?， ∴0?a?b?kc，kc?b?a .

(kc)2?b2?ab(b?a)2?b2?abb2?2ab?a2?b2?ab∴ ??akca(b?a)ab?a2【解析】 ⑴ 解：由kx?x?2，得?k?1?x?2.

a2?ab=??1. ab?a22⑶ 证明：方程②的判别式为????b??4ac?b2?4ac.

由a?0，c?0， 得ac?0.

( i ) 若ac?0， 则?4ac?0. 故??b2?4ac?0. 此时方程②有两个不相等的实数根.

( ii ) 证法一: 若ac?0, 由⑵知a?b?kc?0， 故b?a?kc.

??b2?4ac??a?kc??4ac?a2?2kac??kc??4ac?a2?2kac??kc??4kac?4ac222

2??a?kc??4ac?k?1?. ∵方程kx?x?2的根为正实数， ∴ 方程?k?1?x?2的根为正实数. 由x?0，2?0， 得k?1?0. ∴4ac?k?1??0. ∵?a?kc?≥0，

2∴???a?kc??4ac?k?1??0. 此时方程②有两个不相等的实数根.

2证法二: 若ac?0，

∵抛物线y?ax2?bx?kc与x轴有交点， ∴?1???b??4akc?b2?4akc≥0.

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