最新通用版人教版中考数学一轮复习方程与不等式讲义同步练习含详解

③当m??1时，方程2x?x?1?0，x1??，x2?1，符合题意． 综合①②③可知，m??1．

【例5】 已知关于x的两个一元二次方程：

212k2⑴ 若方程①有两个相等的实数根，求解方程②；

⑵ 若方程①和②中只有一个方程有实数根, 请说明此时哪个方程没有实数根, 并化

方程①: (1?)x2?(k?2)x?1?0; 方程②: x2?(2k?1)x?2k?3?0. 简1?4k?12；

(k?4)2⑶ 若方程①和②有一个公共根a, 求代数式(a2?4a?2)k?3a2?5a的值．

【解析】⑴ ∵方程①有两个相等实数根,

?k③ 1??0,??2 ∴?

???(k?2)2?4(1?k)?0.④ 1?2? 由③得k + 2 ?0, 由④得 (k + 2) (k+4) =0.

∵ k + 2?0,

∴ k=-4. 当k=-4时, 方程②为: x2?7x?5?0. 解得 x1?

7?297?29,x2?? 22 ⑵ 由方程②得 ?2= (2k?1)2?4(2k?3).

法一????2－?1＝(2k?1)2?4(2k?3)-(k + 2) (k+4) =3k2＋6k+5 =3(k+1)2＋2>0.

∴ ?2>?1. ∵ 方程①、②只有一个有实数根， ∴ ? 2>0>?? 1.

∴ 此时方程①没有实数根.

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??1?(k?2)(k?4)?0, 由 ? 22??2?4k?12k?13?(2k?3)?4?0, 得 (k + 2) (k+4)<0.

4k?12(k?4)2?(4k?12)(k?2)2?k?2? 1??????. 222(k?4)(k?4)(k?4)?k?4? ∵ (k + 2) (k+4)<0, ∴

21?4k?12k?2. ??2k?4(k?4) 法二: ∵ ? 2=(2k?1)2?4(2k?3)?4k2?12k?13?(2k?3)2?4>0. 因此无论k为何值时, 方程②总有实数根. ∵ 方程①、②只有一个方程有实数根， ∴ 此时方程①没有实数根. 下同解法一.

⑶ 法一: ∵ a 是方程①和②的公共根,

∴ (1?)a2?(k?2)a?1?0; a2?(2k?1)a?2k?3?0. ∴ (2?k)a2?2(k?2)a?2, a2?(2k?1)a?2k?3.

(a2?4a?2)k?3a2?5a?(3?k)a2?(4k?5)a?2k?(2?k)a?2(k?2)a?a?(2k?1)a?2k.22k2

=2+3=5.

法二: ∵ a 是方程①和②的公共根,

∴ (1?)a2?(k?2)a?1?0; ③ a2?(2k?1)a?2k?3?0. ④

∴（③－④）?2得ka2?2(k?1)a?4k?4. ⑤

由④得a2??(2k?1)a?2k?3. ⑥

k2

将⑤、⑥代入原式，得 原式=ka2?4ak?2k?3a2?5a

=2(k?1)a?4k?4?4ak?2k?3(2k?1)a?6k?9?5a =5.

【例6】 已知关于x的方程mx?(3m?2)x?2m?2?0

⑴ 求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根.

⑵ 若关于x的二次函数y?mx?(3m?2)x?2m?2的图象与x轴两个交点的横坐

标均为正整数，且m为整数，求抛物线的解析式.

【解析】⑴ 证明：①当m?0时，方程为?2x?2?0，所以 x?1，方程有实数根. ②当m?0时, ????(3m?2)??4m(2m?2) =9m?12m?4?8m?8m =m?4m?4 =(m?2)?0 所以,方程有实数根

综①②所述，无论m取任何实数时，方程恒有实数根 ⑵ 令y?0，则mx?(3m?2)x?2m?2?0 解关于x的一元二次方程，得x1?1 ，x2?2?222222222 m 二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为正整数，且m为整数， 所以m只能取1，2

所以抛物线的解析式为y?x?5x?4或y?2x?8x?6

22【例题精讲】

【探究对象】含参的一元二次方程的整数根问题

【探究目的】对一元二次方程的整数根求解策略进行了方法总结和梳理 【探究方法】

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思路1：探究方程是否能直接求根？

思路2：如果不能直接求根就思考判别式，那么判别式的形式都有几种，对于每一

种情况应该用什么样的方法处理？ 思路3：如何应用根与系数的关系解决整数根问题？

整系数一元二次方程有整数根，则： (1)两个根都是整数； (2)判别式是整数；

(3)判别式是整数的完全平方； (4)两根和是整数，两根积是整数. 一、直接求根法：

【探究1】已知关于x的方程?a?1?x2?2x?a?1?0的根是整数，那么符合条件的整

数a的值为

分析：当a?1时，x?1符合条件

当a≠1时，易知x?1是方程一个整数根 由根与系数关系知另一根为x?2?1 1?a因为x为整数，所以1?a??1，?2， 即a??1，0，2，3 所以a??1，0，1，2，3．

【探究2】已知方程k2?1x2?3(3k?1)x?18?0有两个不相等的正整数根，求整数k的值.

分析：???k+1?x?6?????k?1?x?3??=0 x1=??63 , x2=k+1k?1 因为方程有两个正整数根，即 k+1=1,2,3,6. k?1=1,3，所以k=2 二、判别式法

【探究3】设m为整数，且4?m?40，又方程x2?2(2m?3)x?4m2?14m?8?0有

两个整数根.求m的值及方程的根.

分析：考察判别式△＝4(2m＋1)，因是关于m的一次式，