最新通用版人教版中考数学一轮复习方程与不等式讲义同步练习含详解

中考第一轮复习 方程与不等式

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考试内容 方程 方程的解 一元一次方程 一元一次方程的解法 二元一次方程（组） 二元一次方程组的解法 分式方程及其解法 A 知道方程是刻画现实世界数量关系的一个有效数学模型 了解方程的解的概念 了解一元一次方程的有关概念 理解一元一次方程解法中的各个步骤 了解二元一次方程（组）的有关概念 知道代入消元法、加减消元法的意义 考试要求层次 B 能够根据具体问题中的数量关系，列出方程 会用观察、画图等方法估计方程的解 会根据具体问题列出一元一次方程 熟练掌握一元一次方程解法；会解含有字母系数(无需讨论)的一元一次方程(无需讨论) 能根据具体问题列出二元一次方程（组） 掌握代入消元法和加减消元法；能选择适当的方法解二元一次方程组 会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）；会对分式方程的解进行检验 能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值 C 能运用方程解决有关问题 会运用一元一次方程解决简单的实际问题 会运用二元一次方程组解决简单的实际问题 会运用分式方程解决简单的实际问题 了解分式方程的概念 了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项的系数；了解一元二次方程根的意义 理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据 能根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义 理解不等式的基本性质 了解一元一次不等式（组）的解的意义，会在数轴上表示或判定其解集 一元二次方程 能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会用配方法对代数式作简单的变形；会运用一元二次方程解决简单的实际问题 能根据具体问题中的数量关系，用列出一元一次不等式解决简单问题 一元二次方程的解法 能选择适当的方法解一元二次方程；会用一元二次方程根的判别式判断根的情况 不等式（组） 不等式的性质 解一元一次不等式（组） 能根据具体问题中的数量关系列出不等式（组） 会利用不等式的性质比较两个实数的大小 会解一元一次不等式和一元一次不等式组，并会根据条件求整数解

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一、定义

方程的定义：含有未知数的等式叫做方程． 一元一次方程：含有一个未知数且含未知数的项的最高次数为一次的整式方程叫做一元一次方程．

一元二次方程的定义：含有一个未知数且含未知数的项的最高次数为二次的整式方程叫做一元二次方程．

方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解．

二、根的情况

对于形如ax2?bx?c?0的形式应判断a，b，c的情况而定： ⑴当a?0且b?0方程有唯一解．

⑵当a?0且b?0，c?0时，方程有无数解． ⑶当a?0且b?0且c?0时，方程无解． ⑷当a?0时，方程为一元二次方程．

当??0时，方程有两个不相等的实数根； 当??0时，方程有两个相等的实数根； 当??0时，方程无实数根．

三、特殊根

对于关于x的方程ax2?bx?c?0?a?0?

⑴当方程有一根为1时，则a?b?c?0． ⑵当方程有一根为?1时，则a?b?c?0． ⑶当方程有一根为0时，则c?0．

⑷当方程两根互为相反数时，则b?0．

⑸当方程有一根大于零一根小于零时，则c?0． ⑹当方程两根都大于零时，则b?0且c?0． ⑺当方程两根都小于零时，则b?0且c?0．

⑻当方程有一根x1大于1，一根x2小于1，则?x1?1??x2?1??0．

四、整数根

思路一：ax2?bx?c?0?a?0?有整数根必须具备的前提条件：

①有实数根：b2?4ac?0；②有有理数根：b2?4ac是完全平方数；②有整

数根：?b?b2?4ac是2a的整数倍．

思路二：能分解因式的用分离系数法．

【编写思路】 本讲没有分模块，共分两个板块，对方程与不等式问题分了两个层

次.

第一个板块（能力提升）：代数式变形板块；例1复习代数式变形中常用的几种方法；代数式变形是代数中的重点难点，也是中考要求中C要求部分.常见方法如下： ①、加减消元；

1、消元 Ⅰ、部分代入； ②、代入消元

Ⅱ、整体代入； ①、直接开方； 代 数 ②、配方：A2 + B2 = 0； 恒 2、降次 等 ③、因式分解：A·B = 0或A·B = c（c为常整数，且A、B均变等于整数）； 形2 方 Ⅰ、条件为一元二次方程ax?bx?c?0：法 转化为④、利用题设条件

ax2??bx?c，然后进行降次；

Ⅱ、条件为错误!未找到引用源。，转化为

a?n?m错误!未找到引用源。，然后

22两边平方得a?2na?m?n，然后进行降次；

3、换元 整体（当需要对某个代数式进行整体处理时，可以考虑对这个代数式进行换元处理）。

第二个板块（综合探索）：一元二次方程板块；此版块主要复习一元二次方程，并借助一元二次方程复习代数式的相关变形. 例题中重点四类题型：一是一元二次方程和代数式变形的结合（例2、例3）：主要方法同上；二是一元二次方程的区间根问题（例4）；三是公共根问题：设、代、解三步走（例5）；四是方程的整数根问题，主要处理方法如下(其中分解质因数的方法超出中考范畴，某些区模拟可能会简单涉及，老师可自行选择) （例6）：

①、错误!未找到引用源。为整数； 1、用十字相乘法解含参一元二次方程

2m?1整 ②、x?错误!未找到引用数m?3源。解为整数，先用分离常数法

5问转化为x?2?错误!

题m?3未找到引用源。； 解 题 ①、判别式为一次多项式时，可根据参 步 骤 数的取值范围直接求出参数的整数

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解，然后检验； 2、不能因式分解时，使判别式为完全平方数

②、判别式为二次多项式

时，如m?4m?3：Ⅰ、设m2 + 4m – 3 = n2；Ⅱ、转化为

2?m?2?

【例1】 代数式变形.

⑴分解因式：a3?ab2? ．

2Ⅲ、?n2?7；

分解成A·B = 7，从而求出m。

⑵已知a2?b2?c2?ab?3b?2c?4?0，则a?b?c的值为 ．

⑶ 对任意实数k，等式y?kx?x?2k恒成立，则xy? . ⑷若2x2?5x?8?5?0，则2x2?5x?1的值为____________. 22x?5x?13的值a2?1⑸已知a是方程x2?3x?1?0的根，则代数式2a2?5a?2?为 ．

x2?2x?1⑹当整数x为 时，代数式的值为整数.

x⑺已知m、n为整数，且m2?n2?8?0（n?0），则mn?1? . ⑻已知x?m?2n，y?3m?7n，z?2.3m?4.5n，用x、y表示z

为 .

【解析】 ⑴ a(a?b)(a?b).

点评：因式分解是常考的代数式变形，主要考查提公因式法、平方差公式和完全平方公式.

⑵ a2?b2?c2?ab?3b?2c?4?0

?2b2??32?b?3b?3??0 ?c?2c?1???a?ab?4???????42b??b?a??3?c?1???????1??0

2???2?222b???b?∵?c?1?≥0，?a??≥0，3??1?≥0

2???2?222b???b?∴?c?1?=0，?a???0，3??1?=0

2???2?222∴c?1，b?2，a?1 ∴a?b?c?4.