2018版高中数学 第一章 三角函数导学案 新人教A版必修4

第一章 三角函数

1 例说弧度制中的扇形问题

与扇形有关的问题是弧度制中的难点，我们可以应用弧长公式l＝|α|r和扇形面积公式S＝12

|α|r解决一些实际问题，这类问题既充分体现了弧度制在运算上的优越性，又能帮助我们2

加深对弧度制概念的理解.下面通过几例帮助同学们分析、归纳弧度制下的扇形问题. 例1 已知扇形的圆心为60°，所在圆的半径为10，求扇形的弧长及扇形中该弧所在的弓形面积.

π10π

解 设弧长为l，弓形面积为S弓，则α＝60°＝，r＝10，所以l＝αr＝，所以S弓

331123??π

＝S扇－S△＝lr－rsin α＝50?－?.

22?32?

评注 本题利用扇形面积求弓形面积，解题时要根据具体问题进行分割，再求解. 例2 扇形的半径为R，其圆心角α(0＜α≤π)为多大时，扇形内切圆面积最大，其最大值是多少？

解 如图，设内切圆半径为r.

α

2α

则(R－r)sin ＝r，所以r＝，

2α

1＋sin

2

Rsin

α22

则内切圆的面积S＝πr＝π

α1＋sin

2

???

Rsin

???

. ?＝πR?α?

??1＋sin 2?

2

2

2

α

sin

2

因为＝α

1＋sin 1＋

2

αsin 2

11αsin

2

απ

，且0＜≤，

22

αππR所以当＝，即α＝π时，Smax＝. 224

评注 解决扇形问题要注意三角形一些性质的应用，建立相等关系，进而求解.

2

例3 已知扇形的周长为30 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？

解 设扇形的圆心角为α，半径为r，面积为S，弧长为l，则有l＋2r＝30，所以l＝30－11?15?22252所以当半径r＝15cm时，22r，从而S＝lr＝(30－2r)·r＝－r＋15r＝－?r－?＋cm，

2?2242?2252l扇形面积最大，为cm.这时α＝＝2.

4r评注 本题是利用扇形面积公式建立二次函数，进而求二次函数的最值.此题是扇形周长一定时，求扇形的面积的最大值，利用此法也可以求当扇形的面积一定其周长的最小值问题. 针对练习：

1.扇形的周长C一定时，它的圆心角θ取何值才能使扇形面积S最大？最大值是多少？ 2.在扇形AOB中，∠AOB＝90°，弧AB的长为l，求此扇形内切圆的面积. 3.已知扇形AOB的周长是6 cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积. 答案 1.θ＝2时，扇形面积最大，最大值为.

1612－8222

2.S＝πr＝l.

π3.2 cm.

2 任意角三角函数问题错解辨析

任意角三角函数是三角函数的基础，在学习这部分内容时，有的同学经常因为概念不清、考虑不周、观察代替推理等原因而错解题目，下面就解题中容易出现的错误进行分类讲解，供同学们参考. 一、概念不清

例1 已知角α的终边在直线y＝2x上，求sin α＋cos α的值. 错解 在角α的终边所在直线y＝2x上取一点P(1，2)， 则r＝1＋2＝5. 所以sin α＋cos α＝＋＝

2

2

2

C2

yxrr25

＋1

35＝.

55

剖析 错解未弄清直线与角的终边的区别，误认为在角α的终边所在直线上取一点与角α的终边上任取一点都可以确定角α的三角函数值，由任意角三角函数的定义知这是错误的. 正解 在直线y＝2x的第一象限部分取一点P(1，2)，则r＝1＋2＝5. 所以sin α＋cos α＝＋＝

2

2

yxrr25

＋1

35＝.

55

2

在直线y＝2x的第三象限部分取一点P(－1，－2)， 则r＝?－1?＋?－2?＝5. 所以sin α＋cos α＝＋＝22yx－2－135

＋＝－.

rr555

3535

综上，sin α＋cos α的值为或－.

55二、观察代替推理

π

例2 当α∈(0，)时，求证：sin α

2

错解 如图，设角α的始边与x轴非负半轴重合，角α的终边与单位圆的交点为P，过P作PM垂直于x轴，垂足为M，过A(1，0)作单位圆的切线与角α的终边交于点T，则MP＝sin α.记AP的长为l，则l＝α·OP＝α，AT＝tan α.观察可得MP＜l＜AT，

所以sin α＜α＜tan α.

剖析 证明过程中，通过观察得到的结论，缺乏理论根据，这是不允许的.

正解 设角α的始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆的交点为P，过P作PM垂直于x轴，垂足为M，过A(1，0)作单位圆的切线与角α的终边交于点T，则MP＝sin α.记AP的长为l，则l＝α·OP＝α，AT＝tan α. 因为S△OAP＜S扇形 OAP＜S△OAT， 111

所以OA·MP＜OA·l＜OA·AT.

222所以MP＜l＜AT，即sin α＜α＜tan α. 三、估算能力差

?π?例3 若θ∈?0，?，则sin θ＋cos θ的一个可能的值是( )

2??

224－2

A. B.π C. D.1 372

?π?错解 因为θ∈?0，?，

2??

所以0＜sin θ＜1，0＜cos θ＜1. 因此选A.

剖析 由于方法不当，估算能力差，没有正确估算出sin θ＋cos θ的范围，造成错误。

3

正解 如图所示，设P(x，y)是角θ终边上任意一点，且|OP|＝r，则sin θ＋cos θ＝＋yrxx＋y＝. rr

?π?因为θ∈?0，?，

2??

所以x＞0，y＞0，且x＋y＞r. 故sin θ＋cos θ＞1. 而四个选项中只有C符合要求. 故选C.

以上列举了三种常见的错误，并给出正确解法.同学们在解题时要认真审题，缜密思考，避免犯类似的错误.

3 同角三角函数关系巧应用

同角三角函数的用途主要体现在三角函数的求值和恒等变形中各函数间的相互转化，下面结合常见的应用类型举例分析，体会其转化作用，展现同角三角函数关系巧应用. 一、知一求二型 例

1

已知

sin α

＝

25π

，52

≤α≤π

，则

tan α

＝

____________________________________. 25

解析 由sin α＝，

5

且sinα＋cosα＝1得cos α＝±2

2

5， 5

π5因为≤α≤π，可得cos α＝－，

25sin α所以tan α＝＝－2.

cos α答案 －2

点评 已知某角的弦函数值求其他三角函数值时，先利用平方关系求另一弦函数值，再求切函数值，需要注意的是利用平方关系时，若没有角度的限制，要注意分类讨论.

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