高考数学压轴专题(易错题)备战高考《空间向量与立体几何》综合训练

数学高考《空间向量与立体几何》复习资料

一、选择题

1．已知VABC的三个顶点在以O为球心的球面上，且cosA?22，BC?1，3AC?3，三棱锥O?ABC的体积为

A．36? 【答案】B 【解析】 【分析】

B．16?

14，则球O的表面积为( ) 6C．12?

D．

16? 3根据余弦定理和勾股定理的逆定理即可判断三角形ABC是直角三角形，根据棱锥的体积求出O到平面ABC的距离，利用勾股定理计算球的半径OA，得出球的面积． 【详解】

AB2?AC2?BC2AB2?9?122由余弦定理得cosA?，解得AB?22， ??2ABgAC6AB3?AB2?BC2?AC2，即AB?BC．

?AC为平面ABC所在球截面的直径．

作OD?平面ABC，则D为AC的中点， 11114， QVO?ABC?S?ABCgOD???22?1?OD?3326?OD?7． 2?OA?OD2?AD2?2． ?S球O?4??OA2?16?．

故选：B．

【点睛】

本题考查了球与棱锥的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，判断?ABC的形状是关键．

2．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E?平面AA1B1B，点F是线段AA1的中点，若

D1E?CF，则当VEBC的面积取得最小值时，

A．25 5S△EBC?（ ） SABCD5 5B．

1 2C．D．5 10【答案】D 【解析】 【分析】

根据D1E?CF分析出点E在直线B1G上，当VEBC的面积取得最小值时，线段EB的长度为点B到直线B1G的距离，即可求得面积关系． 【详解】

先证明一个结论P：若平面外的一条直线l在该平面内的射影垂直于面内的直线m，则l⊥m，

即：已知直线l在平面内的射影为直线OA，OA⊥OB，求证：l⊥OB. 证明：直线l在平面内的射影为直线OA，

不妨在直线l上取点P，使得PA⊥OB，OA⊥OB，OA，PA是平面PAO内两条相交直线， 所以OB⊥平面PAO，PO?平面PAO， 所以PO⊥OB，即l⊥OB.以上这就叫做三垂线定理. 如图所示，取AB的中点G，

正方体中：A1C1?D1B1，CF在平面A1B1C1D1内的射影为A1C1， 由三垂线定理可得：CF?D1B1，

CF在平面A1B1BA内的射影为FB，FB?B1G

由三垂线定理可得：CF?B1G，B1G与D1B1是平面B1D1G内两条相交直线， 所以CF?平面B1D1G，

∴当点E在直线B1G上时，D1E?CF，

11?EB?BC??EB?a， 22当VEBC的面积取最小值时，

设BC?a，则S△EBC?线段EB的长度为点B到直线B1G的距离，

a∴线段EB长度的最小值为，

5?S△EBCSABCD1a??a5. 25??a210故选：D. 【点睛】

此题考查立体几何中的轨迹问题，通过位置关系讨论面积关系，关键在于熟练掌握线面垂直关系的判定和平面图形面积的计算.

3．在三棱锥P?ABC中，PA?平面ABC，且?ABC为等边三角形，AP?AB?2，则三棱锥P?ABC的外接球的表面积为（ ） A．

27? 2B．

28? 3C．

26? 3D．

25? 2【答案】B 【解析】 【分析】

?PA?可得出外接球的半径，进而可

计算出?ABC的外接圆半径r，利用公式R?r2????2?得出三棱锥P?ABC的外接球的表面积. 【详解】

2?ABC的外接圆半径为

r?AB2sin?3?233，

QPA?底面ABC，所以，三棱锥P?ABC的外接球半径为

?23?21?PA?22， R?r????1??????3?2??3??21?28?2. ?因此，三棱锥P?ABC的外接球的表面积为4?R?4?????3?3??故选：B. 【点睛】

本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，选择合适的公式计算外接球的半径，考查计算能力，属于中等题.

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4．如图所示是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）

166416??64 D．16??64 ? B． C．

333【答案】C

A．

【解析】由三视图可知，该几何体是有一个四棱锥与一个圆锥的四分之一组成，其中四棱锥的底面是边长为4 的正方形，高为4 ，圆锥的底面半径为4 ，高为4，该几何体的体积为， V?12116??64， 故选C. ?4?4????42?4?333

AB5．如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?AD?3,AA1?1,而对角线1上存

在一点P，使得AP?D1P取得最小值，则此最小值为（ ）

A．7 【答案】A 【解析】 【分析】

B．3 C．1+3 D．2

把面AA1B绕A1B旋转至面BA1M使其与对角面A1BCD1在同一平面上，连接MD1并求出，就 是最小值． 【详解】

把面AA1B绕A1B旋转至面BA1M使其与对角面A1BCD1在同一平面上，连接MD1．MD1就是|AP|?|D1P|的最小值，