2020学年高中数学第二章推理与证明2_1_1合情推理教学案新人教A版选修1_2

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2．1.1 合情推理

预习课本P22～29，思考并完成下列问题 (1)归纳推理的含义是什么？有怎样的特征？ (2)类比推理的含义是什么？有怎样的特征？ (3)合情推理的含义是什么？ 1．归纳推理和类比推理

[点睛] (1)归纳推理与类比推理的共同点：都是从具体事实出发，推断猜想新的结论． (2)归纳推理的前提和结论之间的联系不是必然的，结论不一定正确；而类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠，因此不一定正确．

2．合情推理

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归纳推理．( ) (2)类比推理得到的结论可以作为定理应用．( ) (3)由个别到一般的推理为归纳推理．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√

2．由“若a＞b，则a＋c＞b＋c”得到“若a＞b，则ac＞bc”采用的是( ) A．归纳推理 C．类比推理 答案：C

3．数列5,9,17,33，x，…中的x等于________． 答案：65

[典例] (1)观察下列各式： 归纳推理在数、式中的应用 B．演绎推理

D．数学证明

a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )

A．28 B．76 C．123 (2)已知f(x)＝

D．199

x1－x，设f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n＞1，且n∈N)，则f3(x)

*

*

的表达式为________，猜想fn(x)(n∈N)的表达式为________．

[解析] (1)利用归纳法：a＋b＝1，a＋b＝3，a＋b＝3＋1＝4，a＋b＝4＋3＝7，

2

2

3

3

4

4

a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9

＝47＋29＝76，a＋b＝76＋47＝123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和．

(2)∵f(x)＝，∴f1(x)＝.

1－x1－x10

10

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又∵fn(x)＝fn－1(fn－1(x))，

x∴f2(x)＝f1(f1(x))＝

＝， x1－2x1－1－x1－xxxf3(x)＝f2(f2(x))＝

1－2x1－2×

1－2xx＝

， 1－4xxxf4(x)＝f3(f3(x))＝

1－4x1－4×

1－4xx＝

， 1－8xxxf5(x)＝f4(f4(x))＝

1－8x1－8×

1－8xx＝

， 1－16xx∴根据前几项可以猜想fn(x)＝n－1.

1－2x[答案] (1)C (2)f3(x)＝

fn(x)＝n－1 1－4x1－2xxxx1．已知等式或不等式进行归纳推理的方法

(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律； (2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征； (3)提炼出等式(或不等式)的综合特点； (4)运用归纳推理得出一般结论． 2．数列中的归纳推理

在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和． (1)通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；

(2)根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解； (3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式． [活学活用] 1．观察下列等式：

?sin π?－2＋?sin 2π?－2＝4×1×2；

??3?3?3????

?sin π?－2＋?sin 2π?－2＋?sin 3π?－2＋?sin 4π?－2＝4×2×3； ????5?5?5?5?3?????????sin π?－2＋?sin 2π?－2＋?sin 3π?－2＋…＋?sin 6π?－2＝4×3×4； ????7?7?7?7?3????????

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