值域，分段函数

数学体系构建——函数专题

值域求法及分段函数

值域：

1） 带“| |”的题型

例题11：已知f（x）=|x+1|+|x-3|，求f（x）的值域。

例题12：已知f（x）=x-2|x|-3，求f（x）的值域。

例题13：已知f（x）=|x-2x-3|，x∈[-1,5],求f（x）的值域。 2） 带“

”的题型

22

例题14：已知x2?1>2，求x的取值范围。

例题15：已知f（x）=x?1+3-x，求f（x）的值域。

1

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例题16：已知F（x）= f（x）+21-2f?x?，f（x）的值域为[

34,]，求F（x）的值域。 89例题17：已知f（x）=x2-6x?5+x2-5x?6，求f（x）的值域。

例题18：已知f（x）=x2-6x?10+x2-4x?6，求f（x）最小值。

3） 带“分式”的题型

例题19：已知f（x）=

例题20：已知f（x）=

1-x，求f（x）的值域。 1?x1?x，（x>-1），求f（x）的值域。

x2?3x?3x2?1 例题21：已知f（x）=2，求f（x）的值域。

x?2x?3

2

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习题精炼：

1y?|x?1|?|x?4|的最值

2函数y=|x–3|–|x+1|的最大值是

3若函数y=x2?3x?4的定义域为[0,m],值域为[?25/4,?4],则m的取值范围是

4、函数y= –x2–2ax(0?x?1)的最大值是a2,那么实数a的取值范围是

5、求y?x?2?x?1的值域

6、求下列各函数的值域。 ①y?

3x?12x?1 ②y?（x?3）

x?3x?22x2?x?2x2?5x?6③y?2 ④y?2

x?x?1x?x?6

7f(x)?2?4?x 8y?x?41?x 2y?x?1?x 9、 ；

x 10 y= ?

x2?2x?2

3

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11 已知f(x)的值域为[3/8,4/9],试求y=f(x)+

1?2f(x)的值域 2f(x)?2?logx(1?x?9)??y?f(x)?f(x2)的最大值为 312 、已知，则函数

A．6 B．13 C．22 D．33

1?2x?a?4x313 设函数f(x)=lg,其中a?R,如果当x?(–∞,1)时，f(x)有意义，求a的取值范围

14 已知函数f(x)=lg(x2?2mx+m+2) (1)若f(x)的定义域为R，求实数m的取值范围； (2)若f(x)的值域为R，求实数m的取值范围

15 设函数

f(x)?log2x?1?log2(x?1)?log2(p?x)x?1，

（1）求函数的定义域；

（2）问f(x)是否存在最大值与最小值？如果存在，请把它写出来；如果不存在，请说明理由

答 案

7 ∵4?x?[0,??) ∴f(x)?[2,??) 即函数f(x)?2?4?x的值域是 { y| y?2} 28 、换元法（代数换元法）：设t?1?x?0，则x?1?t，

22y?1?t?4t??(t?2)?5(t?0)，∴y?5， ∴原函数可化为

∴原函数值域为(??,5] 222y?ax?b?cx?dy?ax?b?cx?d y?ax?b?cx?d说明：总结型值域，变形：或三角换元法：

21?x?0??1?x?1，∴设x?cos?,??[0,?]， ∵

y?cos??sin??2sin(??则

?4

)∵??[0,?]，∴

????5??2?[,]sin(??)?[?,1]444，∴42，

4