2020年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破专题16基本不等式的应用（解析版）

(I)用t表示PQ的长度，并探求△CPQ的周长l是否为定值.

(Ⅱ)问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至少为多少(hm2)? 思路探求:将实际问题转化为数学问题，再求最值. 解:(I)

.

，

所以所以周长(Ⅱ)当且仅当

时，等号成立.

.

.

为定值.

，

.

所以探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至少为

方法点睛:实际应用题的解题步骤一般分为两步，第一步将实际问题转化为数学问题；第二步求最值，最值问题的求解一般有基本不等式法和导数法，应用基本不等式求最值时一定要注意检验条件是否具备. 2.3基本不等式与其他知识的综合应用

要点:(1)基本不等式与函数、方程的综合(2)基本不等式与解三角形的综合；(3)基本不等式与解析几何等其他知识的综合应用. 例5已知函数

.

(I)判断f(x)在区间(0，+∞)内的增减性，并证明你的结论； (Ⅱ)解关于x的不等式f(x)>0；

(Ⅲ)若f(x)+2x≥0在区间(0，+∞)内恒成立，求a的取值范围.

思路探求:(1)利用定义判断函数的单调性；2)利用分类讨论的方法解含参数的不等式；(3)利用分离参数的方法解不等式恒成立问题. 解:(I)任取

，且

.

则因为即

故f(x)在区间(0，+∞)内单调递减. (Ⅱ)由

得

.

，所以

.

. ，从而

.

当a>0时，解得00

综上，当a>0时，不等式的解集为{x|00}. (Ⅲ)因为f(x)+2x≥0(x>0)，即要满足此不等式恒成立只需而所以

，解得a<0或

.

大于或等于即可.

，当且仅当x=1时，等号成立.

.

方法点睛:以函数、方程、解三角形、解析几何等知识为载体考查基本不等式求最值，是本部分内容中的常见题型.其解题的关键是正确利用条件转换成能利用基本不等式求解的形式，同时要注意基本不等式的使用条件. 3两点说明

3.1两次应用基本不等式时要检验两次等号能否同时取到 例6若点(1，－2)在直线ax－by－2=0(a>0，b>0)上，则

的最小值为

.

思路探求:因为点(1，－2)在直线ax－by－2=0(a>0，b>0)上.所以a+2b－2=0(a>0，b>0)，即

.

所以当且仅当

，即

，

时，等号成立，即

的最小值为

.

方法点睛:一般地，不宜同时应用两次基本不等式，原因是两次应用基本不等式时，容易遗忘两次的等号能否同时成立.事实上，两次等号成立的条件不同，即最后的等号取不到.如本题容易出现下面的错误解法:因为a+2b－2=0，a>0，b>0，所以a+2b=

.

即不到.

，所以，即的最小值为，因为两次等号不能同时成立，故最小值取

3.2要有应用基本不等式求中间变量范围的意识

例7已知二次函数f(x)=ax2－x+c(x∈R)的值域为[0，+∞)，则

的最小值为

.

.

.

，则原式

，在t∈[1，+∞)内单调递增，所以当t=1时，取得最小值

思路探求:因为二次函数f(x)=ax2－x+c(x∈R)的值域为[0，+∞)，所以有又令10.

方法点睛:本题易错点是换元之后，不能准确给出新元的范围，没有利用基本不等式求出t的范围，也就是对基本不等式缺少应用意识，从而容易出现下面的错误答案，原式

，利用二次函数的图像可知

当t=－1时，取得最小值－6.所以学生要养成换元之后立即给出新元取值范围的习惯.

最新模拟题强化

1．若直线2ax?by?2?0(a?0,b?0)，被圆x2?y2?2x?4y?1?0截得弦长为4，则是（ ）． A．9 【答案】A 【解析】

圆的标准方程为：?x?1???y?2??4，故圆的半径为2.

22因为直线2ax?by?2?0被圆x?y?2x?4y?1?0截得弦长为4，

41?的最小值abB．4 C．

1 2D．

1 422所以直线必定经过圆心??1,2?，所以?2a?2b?2?0即a?b?1，

又

41?41?4ba??????a?b??5??， ab?ab?ab因为a?0,b?0，由基本不等式有

4ba??24?4， ab

当且仅当a?所以

21,b?时等号成立， 3341?的最小值为9， ab故选：A.

2．如果函数y?f?x?图象上任意一点的坐标?x,y?都满足方程lg?x?y??lgx?lgy，那么正确的选项是（ ）

A．y?f?x?是区间?0,???上的减函数，且x?y?4 B．y?f?x?是区间?1,???上的增函数，且x?y?4 C．y?f?x?是区间?1,???上的减函数，且x?y?4 D．y?f?x?是区间?1,???上的减函数，且x?y?4 【答案】C 【解析】

?x?0?Qlg?x?y??lgx?lgy?lgxy ??y?0

?x?y?xy??x?y?，解得：x?y?4 ?x?y?（当且仅当x?y时取等号）

?x?y?Qxy??????2??2?22xx?1?11??1??x?1? x?1x?1x?111当x??1,???时，y?为减函数 ?y?1?在?1,???上为减函数

x?1x?1由x?y?xy得：y?故选：C 3．设向量线，则

，

的最小值为（ ）.

，

，其中为坐标原点，

，若

三点共

A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【解析】 向量

，

，

，其中为坐标原点，

，