数学建模第四册答案

第八次作业

9、在6.6节按年龄分组的种群增长模型中，设一群动物最高年龄为15岁，每5岁一组，分成3个年龄组，各组的繁殖率为

b1?0,b2?4,b3?3，存活率为s1?1/2,s2?1/4，开始时3组各有1000只。求

15年后各组分别有多少只，以及时间充分长以后种群的增长率（即固有增长率）和按年龄组的分布。 解：（1）由6.6节建立的模型可知：当矩阵L和按年龄组的初始分布向量x（0）已知时，可以预测任意

kx(k)?Lx(0),k?1,2,?，这样就可以计算出时段k种群的各组数量。时段k种群按年龄组的分布为：

由题目中所给数据可以得到：

??0?1L???2??0??43??00??1000???1000?x(0)??1??0???1000??，k=3 4?，

根据公式，用MATLAB输入数据，运行如下：

>> L=[0 4 3;1/2 0 0;0 1/4 0]; >> A=L^3 A =

0.37500000000000 8.00000000000000 6.00000000000000 1.00000000000000 0.37500000000000 0 0 0.50000000000000 0.37500000000000 >> B=[1000 1000 1000]' B =

1000 1000 1000 >> A*B ans =

14375 1375 875

由上面数据可以得到：15年后各组分别有14375只，1375只，875只。

（2）时间充分长后，求种群的增长率（即固有增长率）和按年龄组的分布情况，这就是稳定状况分析。 由定理1的内容可知：

x*?[1,L矩阵有唯一的正特征根，且是单重的，它对应的正特征向量为

1/21/8,2]??

?3?(2??)?0同时，定理1表明L矩阵的特征方程为

38??

解得方程可以得到：

3

2，即为固有增长率的值。

*T由固有增长率的值可以得到：特征向量为x?(1,1/3,1/18)。

*Tx?(1,1/3,1/18)由定理二可知：就是表示种群按年龄组的分布状况，即稳定分布。