2020届北京市平谷区高三第二学期阶段性测试(二模)数学试题(解析版)

公式进行解答.

15．如图，矩形ABCD中，AB?2，BC?1，O为AB的中点. 当点P在BC边上时，AB?OP的值为________；当点P沿着BC，CD与DA边运动时，AB?OP的最小值为_________.

uuuvuuuvuuuvuuuv

【答案】2 ?2

【解析】建立坐标系，利用坐标运算求出向量的点积，分情况讨论即可. 【详解】

以A为原点建立平面直角坐标系，

则A（0,0），O（1,0），B（2,0），设P（2，b），

（2,0）?(1,b)＝2； （1）ABgOP＝

uuuruuuruuuruuur（2）当点P在BC上时，ABgOP＝2；

当点P在AD上时，设P（0，b），ABg（－1，b）＝－2； OP＝（2，0）当点P在CD上时，设点P（a，1）（0＜a＜2）

uuuruuuruuuruuur（a－1，1）＝2a－2， ABgOP＝（2,0）

uuuruuuraa因为0＜＜2，所以，－2＜2－2＜2，即ABgOP?(?2,2)

综上可知，ABgOP的最小值为－2. 故答案为-2. 【点睛】

(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题;(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法;(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；

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uuuruuur②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.

四、解答题

16．已知函数f?x??2cos?xsin??x?值域.

从①若f?x1??f?x2??2，x1?x2的最小值为②f?x?两条相邻对称轴之间的距离为

????????3?,?的fx______，，求在??????66?3?2?； 2?； 2?． 2③若f?x1??f?x2??0，x1?x2的最小值为

这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答． 【答案】??1,0?

【解析】根据三个条件求得半周期，由此求得?，进而求得f?x?在??域. 【详解】

????，?上的值66???1?33??3??2cos?x?sin?x?cos?x?由于f?x??2cos?xsin??x??? ???2223?2???13????sin2?x?cos2?x?sin?2?x?????1,1?. 223??所以，①②③任选一个作为条件，均可以得到f?x?的半周期为

T??，则22??????1. 2?2所以，f?x??sin?2x?由于???π??. 3??6?x??6，?2???2x??0， 33所以f?x????1,0?，即f?x?的值域为??1,0?. 【点睛】

本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的周期、单调性、最值、值域的求法，属于中档题.

17．某市旅游管理部门为提升该市26个旅游景点的服务质量，对该市26个旅游景点的

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交通、安全、环保、卫生、管理五项指标进行评分，每项评分最低分0分，最高分100分，每个景点总分为这五项得分之和，根据考核评分结果，绘制交通得分与安全得分散点图、交通得分与景点总分散点图如下：

请根据图中所提供的信息，完成下列问题：

（I）若从交通得分前6名的景点中任取2个，求其安全得分都大于90分的概率； （II）若从景点总分排名前6名的景点中任取3个，记安全得分不大于90分的景点个数为?，求随机变量?的分布列和数学期望；

（III）记该市26个景点的交通平均得分为x1，安全平均得分为x2，写出x1和x2的大小关系？（只写出结果） 【答案】（I）

2；（II）分布列见解析，期望为1；（III）x1?x2 5【解析】（I）根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率. （II）利用超几何分布的知识求出分布列和数学期望. （III）根据两种得分的数据离散程度进行判断. 【详解】

（I）由图可知，交通得分前6名的景点中，安全得分大于90分的景点有4个，所以从

2C462?. 交通得分前6名的景点中任取2个，求其安全得分都大于90分的概率为2?C6155（II）结合两个图可知，景点总分排名前6的的景点中，安全得分不大于90分的景点有

2个，所以?的可能取值为0,1,2.

32112C4C4C23C4C11P???0??3?,P???1??3?,P???2??32?.

C65C65C65所以?的分布列为:

? 0 1 2 第 11 页 共 18 页

P

所以E????0?1 5131?1??2??1. 5553 51 5（III）由图可知，26个景点中，交通得分全部在80分以上，主要集中在85分附近，安全得分主要集中在80分附近，且80分一下的景点接近一半，故 x1?x2. 【点睛】

本小题主要考查古典概型概率计算，考查超几何分布，考查数据分析与处理能力，属于中档题.

18．如图，由直三棱柱ABC?A1B1C1和四棱锥D?BB1C1C构成的几何体中，

?BAC?900,AB?1,BC?BB1?2,C1D?CD?5，平面CC1D?平面ACC1A1．

（Ⅰ）求证： AC?DC1；

（Ⅱ）在线段BC上是否存在点P，使直线DP与平面BB1D所成的角为求

?？若存在，3BP的值，若不存在，说明理由． BC【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析.

【解析】试题分析：（1）由条件中?BAC?900，平面CC1D?平面ACC1A1，结合线面垂直的性质定理，可以证明线面垂直，从而证明线线垂直（2）建立空间坐标系，求出法向量，然后根据题意计算是否存在点满足要求 解析：(Ⅰ)证明:在直三棱柱由平面所以又

平面?平面

平面

, ,所以

,且平面

中,

平面

平面ABC,故

,

,

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