2011 - 2012学年度每日一题

20——2012学年度每日一题

1、（B1蔡佩宜主讲）在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如图1，

在Rt△CEF中，由勾股定理列方程CE+EF=CF

222

即：（8-x）+4=x 解得x=5cm．

在Rt△ADE中，由勾股定理解得AE= 125cm．

222

根据勾股定理，则a2+b2=c2

；若△ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你

类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2

的关系，并证明你的结论．

解：（1）若△ABC是锐角三角形，则有a2

+b2

＞c2

证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D，设CD为x，则有BD=a-x

根据勾股定理，得b2-x2=AD2=c2-（a-x）2

即b2-x2=c2-a2+2ax-x2．∴a2+b2=c2

+2ax

∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0．∴a2+b2＞c2

．

（2）当若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a2+b2＜c2

． 证明：过B作BD⊥AC，交AC的延长线于D．

设CD为x，则有BD2=a2-x2

根据勾股定理，得（b+x）2+a2-x2=c2

．

即a2+b2+2bx=c2

．

b＞0，x＞0，∴2bx＞0， a2+b2＜c2

．

2、（B1曹航舶主讲）折叠矩形纸片ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求折痕AE的长。

解：由题意可得：△AEF≌△AED ∴AF=AD=BC=10cm， ∵∠ABF=90°

∴在Rt△ABF中，由勾股定理得BF=6cm；∴CF=BC-BF=4． 设DE长x，则EF也长x，EC长8-x．

2题图 3题图 3、（B1班陈帅军主讲）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，若将矩形折叠，使C点和A点重合，求折痕EF的长．

解：根据折叠：AF=CF，AE=CE，AO=CO，AC⊥EF 设AE=EC=x，则BE=8-x，

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC= AB2?BC2?10， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2

+BE2

=AE2

， 即62

+（8-x）2

=x2

，解得x=

254， 在Rt△AOE中，由勾股定理得：OE= AE2-AO2?154， 解得EF=2EO=152cm．

4、（B1曹紫怡主讲）1a?a?1,那么代数式1a?a的值为( ) A.

5 B.?5 C.2?5 D.

5

21

解：

1a?1?a?0, a?0, a?a, (1212a?a)=(a?a)+4(a?1a)=4+1=5

5、（B1陈思玥主讲）如图：在正方形ABCD中，点E是BC上的一定点，且BE＝10，EC＝14，点P是BD上的一动点，则PE＋PC的最小值是多少？

ADADPPBECBEC

证明：如图，连接AC，连接AE，交BD与点P，则点P为所求作。

PE+PC=PA+PE=AE

∵ △APD ≌ △CPD ∴ AP＝PC

则PE＋PC＝PE＋PA

∵ 两点之间线段最短 ∴ PE＋PA＝AE 最短点P在AE上，

在直角△ABE中，∠ABE＝90° AE＝AE?AB2?BE2?26

∴ PE＋PC最小值为26 答：PE＋PC最小值为26。

6、（B1陈艺主讲）已知a,b为有理数，x,y分别表示5-7的整数部分和小数部分，且满足axy?by2?1，求a+b的值。

解：?2<5-7<3 ∴x?2,y?3?7 ?axy?by2?1 a?2?(3?7?)b?(327?) 1(?2a?6b)7?(6a?16b?1)?0

?a.b为有理数 ∴-2a-b=0 6a+16b-1=0 ?a?32,b??12 ?a?b?312?2?1

7、（B1班陈雨青主讲）已知实数a满足1992?a?a?1993?a，求

a?19922的值。

解：?1992?a?a?1993?a，a?1993?0

∴a?1993 ∴1992?a?a?1992

∴a?1992?a?1993?a

∴

a?1993?1992 ∴a?1993?19922

∴a?19922?1993

8、（B1陈泽毅主讲）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于

点D，AB2

=3，求BC的长。

2

证明：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°， 又AD⊥AC，∴∠DAC=90°∠BAD=120°-90°=30° ∴∠BAD=∠ABD，∴AD=DB， ∵∠C=30°，∴CD=2AD，

设AD=x，根据勾股定理得：x2?(3)2?(2x)2 则x=1 所以BC=CD+BD=3AD=3．

9、（B1党梓蔚主讲）a、b为有理数且满足等式a?b3?6?1?4?23，求a+b的值。

解：6?1?4?23?6?1??3?2?23?1?12?6?1??3?1?2?6?2?3?12?63

??3?3?2?3?3

10、（B1董贝莅主讲）

，求P的

值。

解：由 m-199+n≥0 得m+n≥199

199-m-n≥0 m+n≤199 ∴m+n=199 =0

∵ 由根号的双重非负性得

解得p=201

11、（B1班杜晶晶主讲）设a＜b＜0,a2+b2=4ab,则的值为_________。

解：∵a2+b2=4ab ∴a2+b2+2ab=4ab+2ab (a+b) 2=6ab

∵ a＜b＜0 ∴a+b=-6ab 又∵a2+b2-2ab=4ab-2ab （a-b) 2=2ab

∴a＜b＜0 ∴a-b＜0

a-b=-2ab a?ba?b=3

12、（B1樊兆兴主讲）化简：?1004?7??3???32000?15200072000?352000 10041004解：??7?32008?3???32008?152008?7?72008?352008=??3????32008?5200872008?72008?52008 10042008200810041004=??7??3（1?5）?3??72008（1?52008）=??7??3?????3??7??=1

13、（B1冯廷潇主讲）已知a、b是实数，且(1?a2?a)(1?b2?b)?1，问a，b之间有怎样的关系？

解：∵(1?a2?a)(1?b2?b)?1

∴(1?a2?a)(1?b2?b)?(1?a2?a)(1?a2?a)

∴1?b2?b?1?a2?a①

∵(1?a2?a)(1?b2?b)?1

3

∴(1?a2?a)(1?b2?b)?(1?b2?b)(1?b2?b) 同理 = （） = （）

∴1?a2?a?1?b2?b②

①+②式，得1?a2?1?b2 ∴ a2?b2 ∴a?b(舍)或a?b?0 14、（B1高思洋主讲）已知m、n是有理数，且满足

(5?2)m?(3?25)n?7?0，求m、n的值。

解：将(5?2)m?(3?25)n?7?0化简得：(m?2n)5?(2m?3n?7)?0?m、n是有理数

???m?2n?07?0解得?m??2m?3n???2?n??1

15、（B1高征主讲）已知=

=

,

,

=＋＋

,

求 ＋＋的值.

解: 设

===m，

则 =，

∵

∴

=

∵== ,== ,

==

∴

=

又∵ ＋＋ = （＋＋）

∴

= （＋＋）

= （＋＋）

=（＋＋）

∴ ＋＋ = 1

4