10.4旋转曲面的面积

《数学分析》教案 第十章 定积分的应用

§4 旋转曲面的面积

教学目标：掌握旋转曲面的面积计算公式． 教学内容：旋转曲面的面积计算公式．

基本要求：掌握求旋转曲面的面积的计算公式，包括求由参数方程定义的旋转曲面的面积；掌握平面曲线的曲率的计算公式． 教学建议：

要求学生必须熟记旋转曲面面积的计算公式，掌握由参数方程定义的旋转曲面的面积． 教学过程：

一、微元法

对任意小区间[x,x??x]?[a,b]，若能把函数?的微小增??近似地表示为

?x的线性形式：???f(x)?x，其中f为某一连续函数，且当?x?0时，???f(x)?x??(?x)，即d??f(x)dx，则得

b?(b)??f(x)dx.(?(a)?0)a

此法称为微元法。 注：采用微元法需注意：

1、所求量?关于分布区间是代数可加的；

2、关键是给出???f(x)?x，但一般要检验???f(x)?x??(?x).

二、旋转曲面的面积

设平面光滑曲线C:y?f(x),x?[a,b]，不妨设f(x)?0。下面求这段曲线绕x轴旋转一周所得到的旋转曲面的面积。

在点x,x??x分别作垂直于x轴的平面，它们在旋转曲面上截下一条狭带。当?x很小时，此狭带的面积近似于一圆台的侧面积，即

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《数学分析》教案 第十章 定积分的应用

22?S??[f(x)?f(x??x)]?x??y

??[2f(x)??y]1?(?y2)?x,?x

其中?y?f(x??x)?f(x).由于

?x?0lim?y?0,lim1?(?x?0?y2)?1?f'2(x),?x

因此由f'(x)的连续性有

?[2f(x)??y]1?(?y2)?x?2?f(x)1?f'2(x)?x??(?x).?x

所以得到

2dS?2?f(x)1?f'(x)dx,

S?2??f(x)1?f'2(x)dx.ab

若光滑曲线C:x?x(t),y?y(t),t?[?,?]，且y(t)?0，则曲线绕x轴旋转所得旋转曲面的面积为

S?2??y(t)x'2(t)?y'2(t)dt.??

222例1、计算圆x?y?R在[x1,x2]?[?R,R]上的弧段x轴旋转所得球带的

面积。

22 解： 对曲线y?R?x在区间x1,x2]上应用公式得

S?2??R?x

x1x2x1x2221?x2R?x22dx

?2?R?dx?2?R(x2?x1).

特别当x1??R,x2?R时，则得球的表面积S?4?R.

33例2、计算由内摆线x?acost,y?asint绕x轴旋转所得旋转曲面的面积。

解： 由曲线关于y 轴的对称性及公式得

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《数学分析》教案 第十章 定积分的应用

?S?4?a22?3acos2tsint)2?(3asin2tcost)2dt

?asin3t(0

?12?a22costdt?12 =0?sin4t5?a2.

作业：P255: 1;2;3.

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