空间中点线面位置关系

高一升高二暑假衔接立体几何

第一讲：空间中的点线面

一，生活中的问题？

生活中课桌面、黑板面、教室墙壁、门的表面都给我们以“平面”形象．如果想把一个木棍钉在墙上，至少需要几个钉子？教室的门为什么可以随意开关？插上插销后为什么不能开启？房顶和墙壁有多少公共点？通过本节课学习，我们将从数学的角度解释以上现象． 二，概念明确

1，点构成线，线构成面，所以点线面是立体几何研究的主要对象。

所以：点与线的关系是_____________________，用符号______________。 线与面的关系是_____________________，用符号______________。 点与面的关系是_____________________，用符号______________。

2，高中立体几何主要研究内容：点，线，面的位置关系和几何量（距离，角）

3，直线是笔直，长度无限的；平面是光滑平整，向四周无限延伸，没有尽头的。点，线，面都是抽象的几何概念。不必计较于一个点的大小，直线的长度与粗细。

4，平面的画法与表示 描述 几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体抽象出来的，是无限 的 通常把水平的平面画成一个 ，并且其锐角画成45°，且横边长等于其邻边长的 倍，如图a所示，如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用 画出来，如图b所示 画法

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(1) 用一个 α，β，γ等来表示，如图a中的平面记为平面α 用两个大字的 (表示平面的平行四边形的对角线的顶点)来表示，如图a中的平面记为平面AC或平面BD 用三个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的不共线的顶点)来表示，如图a中的平面记为平面ABC或平面 等 用四个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的 )来表示，如图a中的平面可记作平面ABCD (2) 记法 (3) (4) 检验检验： 下列命题：(1)书桌面是平面；(2)8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；(3)有一个平面的长是50m，度是20m；(4)平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为( )

A．1 B．2 C．3 D．4 三，点，线，面的位置关系和表示

A是点，l，m是直线，α，β是平面.

文字语言 符号语言 图形语言 A在l上 A在l外 A在α内 A在α外 文字语言 符号语言 图形语言 l在α内 l与α平行 - 2 -

l，m相交于A l，m都在平面?内 且平行 l，m异面 （不同在任何一个平面内，且没 有交点） α，β相交于l α，β平行 （没有交点） 熟悉熟悉：如图所示，平面ABEF记作平面α，平面ABCD记作平面β，根据图形填写： (1)A∈α，B________α，E________α，C________α，D________α； (2)α∩β＝________；

(3)A∈β，B________β，C________β，D________β，E________β，F________β； (4)AB________α，AB________β，CD________α，CD________β，BF________α，BF________β.

四，立体几何的公理与定理

1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

αABl?A?l,B?l?l?? ?? A??,B??公理1的作用：判断直线是否在平面内

2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

C 若A，B，C不共线，则A，B，C确定平面? BαA

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推论1：过直线的直线外一点有且只有一个平面

若A?l，则点A和l确定平面?

Aαl推论2：过两条相交直线有且只有一个平面

Aαl

m 若m推论3：过两条平行直线有且只有一个平面

n?A，则m,n确定平面?

若m

αmnn，则m,n确定平面?

公理2及其推论的作用：确定平面；判定多边形是否为平面图形的依据。

3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

α β P · L P??,P??????l且P?l

公理3作用：（1）判定两个平面是否相交的依据；（2）证明点共线、线共点等。

4、公理4：也叫平行公理，平行于同一条直线的两条直线平行.ab,cb?ac

公理4作用：证明两直线平行。

5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

aaa?,bb?且?1与?2方向相同??1＝?2 b1a1ba'

方向相反则aa?,bb?且?1与?2方向相反??1??2＝180? 方向相同则 ∠1+∠2＝180°∠1＝∠2

2b'a'2b'作用：该定理也叫等角定理，可以用来证明空间中的两个角相等。

6，线面平行的定义与判定

1）若直线和平面没有交点，则称直线和平面平行。

2）线面平行判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

（只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以）

a???? b????a//?

a//b??

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