2018年中考数学真题分类汇编(第一期)专题22等腰三角形试题(含解析)

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9. (2018四川省绵阳市)如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE= （ ）

，AD=

，则两个三角形重叠部分的面积为

A.B.C.D.

【答案】D

【考点】三角形的面积，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形

【解析】【解答】解：连接BD，作CH⊥DE，

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∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形， ∴∠ACB=∠ECD=90°,∠ADC=∠CAB=45°, 即∠ACD+∠DCB=∠ACD+∠ACE=90°， ∴∠DCB=∠ACE， 在△DCB和△ECA中，

,

∴△DCB≌△ECA， ∴DB=EA=

,∠CDB=∠E=45°,

∴∠CDB+∠ADC=∠ADB=90°， 在Rt△ABD中， ∴AB=

在Rt△ABC中， ∴2AC=AB=8， ∴AC=BC=2， 在Rt△ECD中， ∴2CD=DE= ∴CD=CE=

+1，

2

2

2

2

=2 ，

，

∵∠ACO=∠DCA，∠CAO=∠CDA， ∴△CAO∽△CDA，

∴ 又∵

： = = =4-2 ，

= CE = DE·CH，

∴CH= = ，

∴ ∴

= AD·CH= × =（4-2

）×

× =3-

. .

= ，

即两个三角形重叠部分的面积为3- 故答案为：D.

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【分析】解：连接BD，作CH⊥DE，根据等腰直角三角形的性质可得∠ACB=∠ECD=90°,∠ADC=∠CAB=45°,再由同角的余角相等可得∠DCB=∠ACE；由SAS得△DCB≌△ECA，根据全等三角形的性质知DB=EA= 理得AB=2

,∠CDB=∠E=45°,从而得∠ADB=90°，在Rt△ABD中，根据勾股定

+1；由相似三角形的判定得△CAO∽△CDA，

，同理可得AC=BC=2，CD=CE=

根据相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方从而得出两个三角形重叠部分的面积. 二.填空题

1．（2018四川省泸州市3分）如图，等腰△ABC的底边BC=20，面积为120，点F在边BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为 18 ．

【分析】如图作AH⊥BC于H，连接AD．由EG垂直平分线段AC，推出DA=DC，推出DF+DC=AD+DF，可得当A、D、F共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF的长； 【解答】解：如图作AH⊥BC于H，连接AD．

∵EG垂直平分线段AC， ∴DA=DC， ∴DF+DC=AD+DF，

∴当A、D、F共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF的长， ∵?BC?AH=120， ∴AH=12， ∵AB=AC，AH⊥BC， ∴BH=CH=10， ∵BF=3FC， ∴CF=FH=5， ∴AF=

=

=13，

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∴DF+DC的最小值为13．

∴△CDF周长的最小值为13+5=18； 故答案为18．

【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称，解决最短问题，属于中考常考题型．

2. （2018?广西桂林?3分）如图，在ΔABC中，∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是__________

【答案】3

详解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形． ∵∠A=36°，∴∠C=∠ABC=72°． BD平分∠ABC交AC于D， ∴∠ABD=∠DBC=36°， ∵∠A=∠ABD=36°， ∴△ABD是等腰三角形．

∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C， ∴△BDC是等腰三角形． ∴共有3个等腰三角形． 故答案为：3．

点睛：本题考查了等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理；求得角的度数是正确解答本题的关键．

3. （2018·新疆生产建设兵团·5分）如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为2，则图中阴影部的面积是

．

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