2018年中考数学真题分类汇编（第一期）专题22等腰三角形试题（含解析）

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∵∠CAE=180°﹣∠BAC﹣∠EAD=90° ∴△CAP∽△CMA ∴AC=CP?CM ∵AC=

22

AB

∴2CB=CP?CM 所以③正确 故选：A．

【点评】本题考查了相似三角形的性质和判断．在等积式和比例式的证明中应注意应用倒推的方法寻找相似三角形进行证明，进而得到答案．

5．（2018·湖南省常德·3分）如图，已知BD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC=90°，AD=3，则CE的长为（ ）

A．6

B．5

C．4

D．3

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC，根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出∠C=∠DBC=∠ABD=30°，根据直角三角形的性质解答． 【解答】解：∵ED是BC的垂直平分线， ∴DB=DC， ∴∠C=∠DBC，

∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠ABD=∠DBC，

∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°， ∴BD=2AD=6， ∴CE=CD×cos∠C=3故选：D．

【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．

6. （2018·台湾·分）如图，锐角三角形ABC中，BC＞AB＞AC，甲、乙两人想找一点P，使得∠BPC与∠A互补，其作法分别如下：

（甲）以A为圆心，AC长为半径画弧交AB于P点，则P即为所求；

（乙）作过B点且与AB垂直的直线l，作过C点且与AC垂直的直线，交l于P点，则P即

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，

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为所求

对于甲、乙两人的作法，下列叙述何者正确？（ ）

A．两人皆正确 B．两人皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确

【分析】甲：根据作图可得AC=AP，利用等边对等角得：∠APC=∠ACP，由平角的定义可知：∠BPC+∠APC=180°，根据等量代换可作判断； 乙：根据四边形的内角和可得：∠BPC+∠A=180°． 【解答】解：甲：如图1，∵AC=AP， ∴∠APC=∠ACP， ∵∠BPC+∠APC=180° ∴∠BPC+∠ACP=180°， ∴甲错误；

乙：如图2，∵AB⊥PB，AC⊥PC， ∴∠ABP=∠ACP=90°， ∴∠BPC+∠A=180°， ∴乙正确， 故选：D．

【点评】本题考查了垂线的定义、四边形的内角和定理、等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．

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7．（2018?湖北荆门?3分）如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（ ）

A．

B．

C．1

D．2

【分析】连接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如图，利用等腰直角三角形的性质得AC=BC=

，∠A=∠B=45°，OC⊥AB，OC=OA=OB=1，∠OCB=45°，再证明Rt△AOP

AP=

CQ，

≌△COQ得到AP=CQ，接着利用△APE和△BFQ都为等腰直角三角形得到PE=QF=

BQ，所以PE+QF=

BC=1，然后证明MH为梯形PEFQ的中位线得到MH=，即可判定

点M到AB的距离为，从而得到点M的运动路线为△ABC的中位线，最后利用三角形中位线性质得到点M所经过的路线长．

【解答】解：连接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如图， ∵△ACB为到等腰直角三角形， ∴AC=BC=

AB=

，∠A=∠B=45°，

∵O为AB的中点，

∴OC⊥AB，OC平分∠ACB，OC=OA=OB=1， ∴∠OCB=45°，

∵∠POQ=90°，∠COA=90°， ∴∠AOP=∠COQ， 在Rt△AOP和△COQ中

，

∴Rt△AOP≌△COQ， ∴AP=CQ，

易得△APE和△BFQ都为等腰直角三角形，

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∴PE=∴PE+QF=

AP=CQ，QF=BQ， BC=

×

=1，

（CQ+BQ）=

∵M点为PQ的中点， ∴MH为梯形PEFQ的中位线， ∴MH=（PE+QF）=， 即点M到AB的距离为， 而CO=1，

∴点M的运动路线为△ABC的中位线，

∴当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长=AB=1． 故选：C．

【点评】本题考查了轨迹：通过计算确定动点在运动过程中不变的量，从而得到运动的轨迹．也考查了等腰直角三角形的性质．

8. （2018?河北?3分）已知：如图4，点P在线段AB外，且PA?PB.求证：点P在线段AB的垂直平分线上.在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（ ） ．

A．作?APB的平分线PC交AB于点C B．过点P作PC?AB于点C且AC?BC C.取AB中点C，连接PC D．过点P作PC?AB，垂足为C

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