2018年中考数学真题分类汇编（第一期）专题22等腰三角形试题（含解析）

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等腰三角形

一、选择题

1． （2018?山东枣庄?3分）如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA、PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【分析】根据等腰直角三角形的判定即可得到结论．

【解答】解：如图所示，使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是3， 故选：B．

【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定，正确的找出符合条件的点P是解题的关键．

2 （2018?山东枣庄?3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（ ）

A．

B．

C．

D．

【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．

【解答】解：过点F作FG⊥AB于点G， ∵∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴∠CDA=90°，

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∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°， ∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF=∠FAD， ∴∠CFA=∠AED=∠CEF， ∴CE=CF，

∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°， ∴FC=FG，

∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°， ∴△BFG∽△BAC， ∴

=

，

∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°， ∴BC=4， ∴

=

，

∵FC=FG， ∴

=

，

解得：FC=， 即CE的长为． 故选：A．

【点评】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出∠CEF=∠CFE．

3. （2018?山东淄博?4分）如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（ ）

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A．

B．

C．

D．

【考点】R2：旋转的性质；KK：等边三角形的性质；KS：勾股定理的逆定理．

【分析】将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，则△BPE为等边三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，延长BP，作AF⊥BP于点FAP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度数，在直角△APF中利用三角函数求得AF和PF的长，则在直角△ABF中利用勾股定理求得AB的长，进而求得三角形ABC的面积． 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴BA=BC，

可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F．如图，

∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°， ∴△BPE为等边三角形， ∴PE=PB=4，∠BPE=60°， 在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4， ∴AE=PE+PA，

∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°， ∴∠APB=90°+60°=150°． ∴∠APF=30°，

∴在直角△APF中，AF=AP=，PF=∴在直角△ABF中，AB=BF+AF=（4+则△ABC的面积是故选：A．

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2

2

2

2

2

2

AP=

2

．

2

）+（）=25+12）=

．

．

?AB=

2

?（25+12

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【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．

4. （2018?江苏扬州?3分）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧做等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：

①△BAE∽△CAD；②MP?MD=MA?ME；③2CB=CP?CM．其中正确的是（ ）

2

A．①②③ B．① C．①② D．②③

【分析】（1）由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE三边份数关系可证； （2）通过等积式倒推可知，证明△PAM∽△EMD即可； （3）2CB转化为AC2，证明△ACP∽△MCA，问题可证． 【解答】解：由已知：AC=∴

AB，AD=

AE

2

∵∠BAC=∠EAD ∴∠BAE=∠CAD ∴△BAE∽△CAD 所以①正确 ∵△BAE∽△CAD ∴∠BEA=∠CDA ∵∠PME=∠AMD ∴△PME∽△AMD ∴

∴MP?MD=MA?ME 所以②正确 ∵∠BEA=∠CDA ∠PME=∠AMD

∴P、E、D、A四点共圆 ∴∠APD=∠EAD=90°

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