2018-2019学年广西南宁二中九年级(下)开学数学试卷(解析版)

即摸到一个红球和一个黄球的概率是．

【点评】本题考查列表法和树状图法，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率． 23．（8分）已知：△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．求证：四边形DEFG是平行四边形．

【分析】利用三角形中线的性质、中位线的定义和性质证得四边形EFGD的对边DE∥GF，且DE＝GF＝BC；然后由平行四边形的判定﹣﹣对边平行且相等的四边形是平行四边形，证得结论．

【解答】证明：如图，连接ED、DG、GF、FE． ∵BD、CE是△ABC的两条中线， ∴点D、E分别是边AC、AB的中点， ∴DE∥CB，DE＝CB；

又∵F、G分别是OB、OC的中点， ∴GF∥CB，GF＝CB； ∴DE∥GF，且DE＝GF，

∴四边形DEFG是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）．

【点评】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定．平行四边形的判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．

24．（10分）某校计划一次性购买排球和篮球，每个篮球的价格比排球贵30元；购买2个排球和3个篮球共需340元．

（1）求每个排球和篮球的价格：

（2）若该校一次性购买排球和篮球共60个，总费用不超过3800元，且购买排球的个数少于39个．设排球的个数为m，总费用为y元．

①求y关于m的函数关系式，并求m可取的所有值；

②在学校按怎样的方案购买时，费用最低？最低费用为多少？

【分析】（1）根据每个篮球的价格比排球贵30元；购买2个排球和3个篮球共需340元列出方程组，解方程组即可；

（2）①根据题意列出函数关系式即可；

②根据购买排球和篮球共60个，总费用不超过3800元，且购买排球的个数少于39个列出不等式，解不等式即可．

【解答】解：（1）设每个排球的价格是x元，每个篮球的价格是y元， 根据题意得：解得：

，

，

所以每个排球的价格是50元，每个篮球的价格是80元； （2）①y＝50m+80（60﹣m）＝﹣30m+4800， 由题意可得：解得：

，

，

m取整数，所以m＝34，35，36，37，38； ②∵k＝﹣30＜0，y随x的增大而减小， ∴当m＝38时，y最小＝3660元．

【点评】本题考查的是二元一次方程组和一次函数的应用，根据题意正确列出二元一次方程组、一元一次不等式是解题的关键．

25．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠A＝2∠CBF． （1）求证：BF与⊙O相切． （2）若BC＝CF＝4，求BF的长度．

【分析】（1）连接AE，如图，利用圆周角定理得∠AEB＝90°，再根据等腰三角形的性质得BE

＝CE，接着证明∠1＝∠4，然后利用∠1+∠3＝90°得到∠3+∠4＝90°，从而根据切线的判定方法可判断BF与⊙O相切；

（2）由BC＝CF＝4得到∠F＝∠4，则∠BAC＝2∠F，所以∠F＝30°，∠BAC＝60°，于是可判断△ABC为等边三角形，所以AB＝AC＝4，然后利用勾股定理计算BF的长． 【解答】（1）证明：连接AE，如图， ∵AB为直径， ∴∠AEB＝90°， ∴AE⊥BC， ∵AB＝AC，

∴BE＝CE，AE平分∠BAC， ∴∠1＝∠2， ∵∠BAC＝2∠4， ∴∠1＝∠4， ∵∠1+∠3＝90°， ∴∠3+∠4＝90°， ∴AB⊥BF， ∴BF与⊙O相切； （2）解：∵BC＝CF＝4， ∴∠F＝∠4， 而∠BAC＝2∠4， ∴∠BAC＝2∠F，

∴∠F＝30°，∠BAC＝60°， ∴△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC＝4， ∴BF＝

＝

＝4

．

【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了圆周角定理．

26．（10分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0），C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D． （1）求此二次函数解析式；

（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；

（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入二次函数y＝ax2+bx﹣3a求得a、b的值即可确定二次函数的解析式；

（2）分别求得线段BC、CD、BD的长，利用勾股定理的逆定理进行判定即可；

（3）分以CD为底和以CD为腰两种情况讨论．运用两点间距离公式建立起P点横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解．

【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3）， ∴根据题意，得解得

，

，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．