全国各地中考数学试题分类汇编（第2期）专题23 直角三角形与勾股定理（含解析）

∴=， 22

∴x+3x=y+y ②， 由①②可以得到：y=3x﹣1，

22

∴（3x﹣1）﹣x=1， ∴x=，y=， ∴cosB==．

【点评】本题考查切线的判定、勾股定理、三角函数等知识，解题的关键是记住圆心到直线的距离等于半径，这条直线就是圆的切线，学会设未知数列方程组解决问题，属于中考常考题型．

3．（2016·四川内江）(10分)如图9，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F．⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH．

(1)试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)当AB＝BE＝1时，求⊙O的面积； (3)在(2)的条件下，求HG·HB的值．

C C H D E A B 图9 G O D E F A B 答案图 G O F

H [考点]切线的性质与判定定理，三角形的全等，直角三角形斜边上中线定理、勾股定理。 (1)直线BD与⊙O相切．理由如下：

如图，连接OB，∵BD是Rt△ABC斜边上的中线，∴DB＝DC． ∴∠DBC＝∠C．

∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB＝∠CED． ∵∠C＋∠CED＝90°， ∴∠DBC＋∠OBE＝90°． ∴BD与⊙O相切； 3分

(2)连接AE．∵AB＝BE＝1，∴AE＝2．

∵DF垂直平分AC，∴CE＝AE＝2．∴BC＝1＋2． 4分

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∵∠C＋∠CAB＝90°，∠DFA＋∠CAB＝90°， ∴∠CAB＝∠DFA．

又∠CBA＝∠FBE＝90°，AB＝BE，

∴△CAB≌△FEB．∴BF＝BC＝1＋2． 5分 ∴EF＝BE＋BF＝1＋(1＋2)＝4＋22． 6分

2

2

2

2

2

1π·EF2＝2?2π． 7分 42(3)∵AB＝BE，∠ABE＝90°，∴∠AEB＝45°． ∵EA＝EC，∴∠C＝22.5°． 8分

∴∠H＝∠BEG＝∠CED＝90°－22.5°＝67.5°． ∵BH平分∠CBF，∴∠EBG＝∠HBF＝45°． ∴∠BGE＝∠BFH＝67.5°．

∴S⊙O＝

∴BG＝BE＝1，BH＝BF＝1＋2． 9分 ∴GH＝BH－BG＝2．

∴HB·HG＝2×(1＋2)＝2＋2． 10分

4.（2016·黑龙江龙东·6分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（﹣1，3）、（﹣4，1）（﹣2，1），先将△ABC沿一确定方向平移得到△A1B1C1，点B的对应点B1的坐标是（1，2），再将△A1B1C1绕原点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2，点A1的对应点为点A2．

（1）画出△A1B1C1； （2）画出△A2B2C2；

（3）求出在这两次变换过程中，点A经过点A1到达A2的路径总长．

【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换． 【分析】（1）由B点坐标和B1的坐标得到△ABC向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到△A1B1C1，则根据点平移的规律写出A1和C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；

（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A1的对应点为点A2，点B1的对应点为点B2，点C1的对应点为点C2，从而得到△A2B2C2；

（3）先利用勾股定理计算平移的距离，再计算以OA1为半径，圆心角为90°的弧长，然后把它们相加即可得到这两次变换过程中，点A经过点A1到达A2的路径总长． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；

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（2）如图，△A2B2C2为所作；

（3）OA=

=4

，

点A经过点A1到达A2的路径总长=+=+2π． 5．（2016·湖北黄石·12分）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=2α． （1）如图1，若点D关于直线AE的对称点为F，求证：△ADF∽△ABC；

222

（2）如图2，在（1）的条件下，若α=45°，求证：DE=BD+CE；

222

（3）如图3，若α=45°，点E在BC的延长线上，则等式DE=BD+CE还能成立吗？请说明理由．

【分析】（1）根据轴对称的性质可得∠EAF=∠DAE，AD=AF，再求出∠BAC=∠DAF，然后根据两边对应成比例，夹角相等两三角形相似证明；

（2）根据轴对称的性质可得EF=DE，AF=AD，再求出∠BAD=∠CAF，然后利用“边角边”证明△ABD和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=BD，全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠B，然后求出∠ECF=90°，最后利用勾股定理证明即可；

（3）作点D关于AE的对称点F，连接EF、CF，根据轴对称的性质可得EF=DE，AF=AD，再根据同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“边角边”证明△ABD和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=BD，全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠B，然后求出∠ECF=90°，最后利用勾股定理证明即可． 【解答】证明：（1）∵点D关于直线AE的对称点为F， ∴∠EAF=∠DAE，AD=AF， 又∵∠BAC=2∠DAE， ∴∠BAC=∠DAF， ∵AB=AC， ∴

=

，

∴△ADF∽△ABC；

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（2）∵点D关于直线AE的对称点为F， ∴EF=DE，AF=AD， ∵α=45°，

∴∠BAD=90°﹣∠CAD，

∠CAF=∠DAE+∠EAF﹣∠CAD=45°+45°﹣∠CAD=90°﹣∠CAD， ∴∠BAD=∠CAF， 在△ABD和△ACF中，

，

∴△ABD≌△ACF（SAS）， ∴CF=BD，∠ACF=∠B，

∵AB=AC，∠BAC=2α，α=45°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠B=∠ACB=45°，

∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，

222

在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF=CF+CE，

222

所以，DE=BD+CE；

222

（3）DE=BD+CE还能成立．

理由如下：作点D关于AE的对称点F，连接EF、CF， 由轴对称的性质得，EF=DE，AF=AD， ∵α=45°，

∴∠BAD=90°﹣∠CAD，

∠CAF=∠DAE+∠EAF﹣∠CAD=45°+45°﹣∠CAD=90°﹣∠CAD， ∴∠BAD=∠CAF， 在△ABD和△ACF中，

，

∴△ABD≌△ACF（SAS）， ∴CF=BD，∠ACF=∠B，

∵AB=AC，∠BAC=2α，α=45°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠B=∠ACB=45°，

∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，

222

在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF=CF+CE，

222

所以，DE=BD+CE．

【点评】本题是相似形综合题，主要利用了轴对称的性质，相似三角形的判定，同角的余角相等的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，此类题目，小题间的思路相同是解题的

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