断裂力学讲义第三章： 弹性力学的平面问题

第3章 弹性力学的平面问题

任何弹性力学问题都是空间问题，但是在某些条件下，它们可以简化为平面问题。 在平面问题中，我们以x,y,z表示直角坐标系的三个坐标，以u,v,w表示相应的位移分量，而以?xx、?yy…和?xx、?yy…分别表示相应的应力分量和应变分量。

§3.1 平衡方程与变形协调方程

在平面问题里，所有位移量都只是x, y的函数，与z无关，因而所有应变和应力分量也都只是x, y的函数，与z无关。平衡方程(2.40)可简化为

???xx??xy??fx?0??x?y?? (3.1)

??xy??yy??fy?0???x?y?变形协调方程(2.63)只余下

2?2?xy?2?xx??yy??2 (3.2) 22?y?x?x?y§3.2平面应力与平面应变

3.2.1平面应力问题

平面应力问题是指: 发生在物体某一方向(z方向)的尺寸远小于其余两个方向尺寸的物体中，即物体是一个很薄的平板，此外还要求板的厚度均匀，所有外力都作用在板的中面内，或者所有外力都作用在与中面平行的平面内，且载荷对中面对称。根据这些前提条件，在物体的两个端面(上下底面)上，进而整个物体内，?zz?0, 其它应力分量中?zx??zy?0。

平面应力的应变分量, 根据虎克定律(2.95)式，有?yz??zx?0,

??zz??(?xx??yy) (3.3)

E利用(2.95)式，虎克定律可以写成

?1(?xx???yy)?E?1??yy?(?yy???xx)? (3.4)

E?11????xy??xy??xy?2?E??xx?3.2.2平面应变问题

平面应变问题是指：在弹性体沿某一方向(z方向)的尺度远大于其余两个方向的尺度，而且物体形状及载荷沿z方向不变的情况下，在任一远离端部且与xoy平行的平面内，物体的变形都是相同的。此外，由于z方向尺度极大，不能产生z方向的位移，即w?0，因此，物体内的变形只发生在与xoy平行的平面内。这类弹性力学问题称之为平面应变问题。由应变与位移的关系直接得出?zz?0，其它应变分量中，?yz??zx?0

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平面应变的应力分量，根据虎克定律(3.15)式，有?yz??zx?0

?zz??(?xx??yy) (3.5)

利用(2.95)式，虎克定律可以写成

?1??2??xx?(?xx??yy)?E1???21?????yy?(?yy??xx)? (3.6)

E1????12??1????xyxy?E?xy??3.2.3 虎克定律的统一形式

引入符号：

E'???E/(1??2) (平面应变)， ?'???E (平面应力)??/(1??) ( 平面应变 )?? ( 平面应力 ) 代入(3.4)和(3.6)式，虎克定律可以统一写成

?1?xx?E'(?xx??'?yy)????1E'(???'??yyyyxx)? ?11??'??xy?2??xy?E'?xy??以应力表示的变形协调方程为：

?2?xx?2?y2??'?yy?x2??2?yy?x2??'?2?xx?x2?2(1??')?2?xy?x?y 也可改写为：

?2(?1??')???fx?f?y?xx??yy)??(??x??y??? 其中?2?????2?2??x2??y2??为二维直角坐标系中的拉普拉斯算符。

?? 由(3.7)还可以得到一个常用的关系式:

1??'E'?2? 在后面我们还经常用到一个材料常数?, 它的定义是

????3?4? (平面应变) ?(3??)/(1??) (平面应力) 利用弹性常数之间的关系式(2.97)，还可以得到常用的关系式

??14???2?E', 11??'2?2??E' §3.3 Ａiry应力函数

应力函数有许多种。本节只介绍平面问题中常用的Airy应力函数。

在(3.10)中引入体力的势函数V，满足

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(3.7) (3.8)

(3.9) (3.10)

(3.11) (3.12) (3.13) fx??和Airy函数U(x,y)使

?V?V， fy?? (3.14)

?y?x?2U?2U?2U?xx?2?V， ?yy?2?V ?xy?? (3.15)

?x?y?x?y则平衡方程自动满足，代入协调方程，得到

?2(?2U)??4U???1??'??2V (3.16)

式中

?4?4?4???(?)?4?222?4 (3.17)

?x?x?y?y当体力势为零时, U满足双调和方程

?4U?0 (3.18)

应力分量与Airy函数的关系成为

?2U?2U?2U?xx?2， ?yy?2 ?xy?? (3.19)

?x?y?x?y422Airy函数可以取多种形式，例如多项式、三角函数等。这里只介绍一些矩形的平面问题，并取应力函数为多项式的形式。

由(3.18)可知，U必须是二次以上的多项式。因为一次多项式只能使应力为零。在以下例子中，我们都假定V?0。

表3.3.1列出了取二次和三次多项式中的一项为应力函数时的应力分布。各应力函数相应的矩形板的边界条件如表3.3.1第4列显示。

表3.3.1 应力函数U 应 力 矩形板的边界条件 1 12ax 2 ?xx?0?yy?a ?xy?0?xx?c?yy?0 ?xy?0 2 12cy 2 3 4 bx?y ?xx?0?yy?0 ?xy??b?xx?0?yy?ey ?xy??ex e2x?y 2 5 g3y 6?xx?gy?yy?0 ?xy?0 当U是一个高于三次的多项式时，则不能任取一项。此多项式的系数必须满足某种关系时，

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才能取为应力函数。

§3.4极坐标系中平面问题的基本方程

应力 根据§2.1的应力张量坐标变换的方法，可以得出极坐标中应力分量与直角坐标系中应力分量的转换关系：

???22?????xxsin???yycos??2?xysin?cos?? (3.20)

??r??(?yy??xx)sin?cos???xy(cos2??sin2?)??反过来

?rr??xxcos2???yysin2??2?xysin?cos?????yy??rrsin2?????cos2??2?r?sin?cos?? (3.21)

??xy?(?rr????)sin??cos???r?(cos2??sin2?)???xx??rrcos2?????sin2??2?r?sin?cos?由(3.20)还可以得到下面的关系式：

?????rr??xx??yy?? (3.22)

(?????rr?2i?r?)?(?yy??xx?2i?xy)e2i??极坐标的位移分量ur,u?与直角坐标系中的位移分量间有如下关系：

?ur??cos????u?????????sin?sin???u???? (3.23) ???cos???v?上式也可表示为

(ur?iu?)?(u?iv)e?i? (3.24)

应力应变关系 统一写成

?1[?rr??'???] ?E?1?????[?????'?rr] ? (3.25)

E?11??'??r???r???r??2?E'??rr?其中E', ?' 参见(3.7)式。

平衡方程

??rr?rr????1??r?????fr?0??rrr??? (3.26) ??r?2?r?1???????f??0??rrr???§3.5 应力函数的复变函数表示

弹性力学的复变函数解法由Muskhelishvili(1953)等系统研究，并形成了一套完整的解法。这些方法在断裂力学中也得到广泛应用。

在以下讨论中，我们假定体力为零。在3.3节，我们已经引进了应力函数U(x,y)使各应力分量满足(3.13), 从而使U成为双调和函数，?4U?0。进一步，我们选择解析函数?(z)和g(z)，

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