2021高考理科数学一轮总复习课标通用版作业：第4章 三角函数、解三角形 课时作业20

(3)画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象． π

解：(1)∵x＝8是函数y＝f(x)的图象的对称轴，

??πππ??

∴sin?2×＋φ?＝±1，∴4＋φ＝kπ＋2，k∈Z，

8??

3π

∵－π＜φ＜0，∴φ＝－4.

?3π3π??

(2)由(1)知φ＝－4，因此y＝sin?2x－?， ?4??

π3ππ

由题意得2kπ－2≤2x－4≤2kπ＋2，k∈Z， π5

即kπ＋8≤x≤kπ＋8π，k∈Z，

??3π?π5π????

所以函数y＝sin?2x－?的单调递增区间为?kπ＋，kπ＋?，k∈Z. ?4?88???

?3π??

(3)由y＝sin?2x－??可知 4??

x 0 2－2 π8 －1 3π8 0 58π 1 7π8 0 π 2－2 y 故函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象是

图9

19．(2019年河南省天一大联考高二阶段性测试)现有结论：对于函数f(x)，若对任意x∈R，f(a＋x)＋f(a－x)＝0，f(b＋x)＝f(b－x)，则f(x)的图象关于点(a，0)中心对称，关于直线x＝b轴对称．

(1)利用上述结论，证明函数y＝sinx的图象关于点A(π，0)中心对称，π

关于直线l：x＝2轴对称．设点A到直线l的距离为d，给出函数y＝sinx的最小正周期T与d的关系式．

(2)若函数f(x)的图象关于点(a，0)中心对称，关于直线x＝b轴对称，其中a＞b，猜想：函数f(x)是否为周期函数？如果是，用a，b表示周期T并证明，如果不是，请说明理由．

解：(1)因为sin(π－x)＋sin(π＋x)＝sinx－sinx＝0， 所以y＝sinx的图象关于点A(π，0)中心对称．

?π??π????

因为sin?－x?－sin?＋x??＝cosx－cosx＝0， 22????

π

所以y＝sinx的图象关于直线l：x＝2轴对称．

因为函数y＝sinx的最小正周期为T＝2π，点A到直线l的距离为d＝π2，

所以T＝4d.

(2)猜想：函数f(x)是周期函数，且周期T＝4(a－b)． 因为f[x＋2(a－b)]＝f[a＋(x＋a－2b)] ＝－f[a－(x＋a－2b)]＝－f(2b－x)

＝－f[b＋(b－x)]＝－f[b－(b－x)]＝－f(x)， 所以f[x＋4(a－b)]＝－f[x＋2(a－b)]＝f(x)， 所以函数f(x)是周期函数，且周期T＝4(a－b)．