天津市河北区2020届高三总复习质量检测(二)数学试题含有答案

解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域为(0，+?)． .…….……1分

∵f(x)=1ax?a?1?lnx2x， ∴f?(x)=11?lnx2a?x2． .…….……2分

若函数f(x)为单调递减函数， 则f?(x)≤0．

∴a≤2?2lnxx2 对x?(0，??)恒成立． .…….……4分 设g(x)?2?2lnxx2． 令g?(x)=4lnx?6x3?0， 解得lnx=32． 3∴x=e2．

33∵函数g(x)在(0，e2)单调递减，在(e2，+?)单调递增， 3∴函数g(x)的最小值为g(e2)=?1e3． .…….……6分 ∴a≤?1e3，即a的取值范围是(??，?1e3]． .…….……7分 1ax2?(a?1)x（Ⅱ）由已知，f(x)=2?lnxx．

设h(x)=12ax2?(a?1)x?lnx，

则函数f(x)有两个不同的零点等价于函数h(x)有两个不同的零点．

∵h?(x)=ax?(a?1)?1ax2?(a?1)x?1(ax?x=x=1)(x?1)x， .…….……8分∴（1）当a≥0时， 函数h(x)在(0，1)单调递减，在(1，+?)单调递增． 若函数h(x)有两个不同的零点，

则h(1)=?12a?1?0，即a?2． 当a?2时，

13当x?(1，+?)时，h(2)=2a?2(a?1)?ln2=2?ln2?0．

当x?(0，1)时，h(x)=122a(x?2x)?x?lnx，

∵?1?x2?2x?0， ∴h(x)?-12a?x?lnx．

∴h(e?1a)?-12a?e?122a?lne?12a=e?12a?0．

∴函数h(x)在(0，1)，(1，+?)上各有一个零点．

故a?2符合题意． .…….……11分 （2）当a??1时， ∵函数h(x)在(0，??)单调递减，

∴函数h(x)至多有一个零点，不符合题意． .…….……12分 （3）当?1?a?0时，

∵函数h(x)在(0，1)单调递减，在(1，?1a)单调递增，在(?1a，+?)单调递减，∴函数h(x)的极小值为h(1)?-12a?1?0．

∴函数h(x)至多有一个零点，不符合题意． .…….……14分 （4）当a??1时，

∵函数h(x)在(0，?11a)单调递减，在(?a，1)单调递增，在(1，+?)单调递减，∴函数h(x)的极小值为h(?11a)?1-2a?ln(?a)?0． ∴函数h(x)至多有一个零点，不符合题意．

综上，a的取值范围是(2，+?)． .…….……16分

注：其他解法可参照评分标准酌情给分

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