空间向量在立体几何中的应用2010[1].11.16

空间向量在立体几何中的应用（一）

——线线、线面、面面平行与垂直

1.两直线平行与垂直.

??设直线l，m的方向向量分别为a?(a1,a2,a3),b?(b1,b2,b3) ????⑴l//m?a//b?a??b?a1??b1,a2??b2,a3??b3(??R)

??⑵l?m?a?b?a1b1?a2b2?a3b3?0

2．直线与平面平行与垂直

??设直线l的方向向量为a?(a1,a2,a3),平面?的法向量为u?(b1,b2,b3)

⑴l//??a?u?a1b1?a2b2?a3b3?0

⑵l???a//u?a??u?a1??b1,a2??b2,a3??b3(??R)

??????3.平面与平面平行与垂直

??设平面?,?的法向量分别为u?(a1,a2,a3)，v?(b1,b2,b3)

????⑴?//??u//v?a??b?a1??b1,a2??b2,a3??b3(??R)

⑵????u?v?a1b1?a2b2?a3b3?0 4．求平面法向量的一般步骤：

????(1)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a?(a1,b1,c1),b?(a2,b2,c2)

(2)设出平面的一个法向量为n?(x,y,z)

???n?a(3)根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组?

??n?b(4)解方程组，取其中的一组解，即得法向量.

例1：如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1M，N分别是A1B1，BB1

，的中点.

求证:(1)MN//平面ACD1(2)DB1⊥平面ACD1.

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例2：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F、G分别是BB1、DD1、DC的中点.

求证：(1)平面ADE∥平面B1C1F；

(2)平面ADE⊥平面A1D1G；

(3)在AE上求一点M，使得A1M⊥平面DAE.

空间向量在立体几何中的应用（二）

——利用空间向量求空间角

?1.两条异面直线所成的角——范围：(0,]

2a?b??向量求法：设直线a、b的夹角为θ，方向向量为a,b，其夹角为α，则有cos??cos??

a?b注：求出两向量的夹角可能是钝角或直角或锐角，因异面直线所成的角的范围是?0,便可直接求得所要求的角.

2.直线与平面所成的角——范围：[0,???

，故加绝对值，??2?

?2??向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面

]

a?u??所成的角为?，a与u的夹角为?，则有 sin??cos??

a?u3.二面角——范围：[0,?]

二面角的向量求法：

方法一：如图，若AB、CD分别是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的异面

????????直线，则二面角的大小就是向量AB与CD的夹角.

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方法二:设u,v是二面角α-l-β的两个面α，β的法向量，则向量u与v的夹角(或其补角就是二面角的平面角的大小.如图，设二面角的平面角的大小为?，法向量的夹角为?.

????????u?vu?vcos??cos???? cos??cos(???)??cos?????

|u||v||u||v|

注意:在用向量求二面角的大小时，我们是先求出两半平面的法向量所在直线的夹角?，但二面角可能是钝角或锐角，因此在求出?角后，应判断二面角的大小，再确定二面角就是两半平面的法向量所在直线的夹角?或是其补角.

例3：如图，底面ABCD为直角梯形，?ABC?90，

?PB?面ABCD，BA?BC?BP?2CD?2，E为PD的中点.

求：⑴异面直线BD与PA所成角的余弦值；

⑵直线CP与面ADP所成角的正弦值； ⑶面CDP与面ADP所成二面角的大小.

解：⑴如图建立空间直角坐标系B?xyz，则有B?0,0,0?,D?2,1,0?,P?0,0,2?,A?0,2,0?得

????????BD??2,1,0?,PA??0,2,?2?，设异面直线BD与PA所成角的大小为?，

????????BD?PA????????210则cos??cos?BD,PA????? ???????5?810BD?PA异面直线BD与PA所成角的余弦值为

10. 10????⑵在空间直角坐标系中，有A?0,2,0?,C?2,0,0?,D?2,1,0?,P?0,0,2?，故CP???2,0,?2，??????????AP??0,?2,2?,DP???2,?1,2?.设面ADP的一个法向量为n1??x,y,z?，则有

????????????n?AP??n?AP?0??2y?2z?0?? ??????????????2x?y?2z?0??n?DP??n?DP?0?

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???11?令y?1得z?1，x?，即n1??,1,1?， 设直线CP与面ADP所成角的大小为?，故

2?2?????????????|CP?n1|122sin??cos?CP,n1??????，所以，直线CP与面ADP所成角的正弦值为 ????366CP?|n1|8?2⑶如图得，C?2,0,0?,D?2,1,0?,P?0,0,2?,有CP???2,0,2?,CD??0,1,0?设面CDP的一个法向量为

????????????????????2x?2z?0?n?CP?n?CP?0，令x?1得z?1，即n2??1,0,1?， ??????????n2??x,y,z?，则有?????y?0?n?CD??n?CD?0??????????1?????n?n2?由⑵得，面ADP的一个法向量为n1??,1,1? ，故cos?n1,n2????1????2??n1?n2329?24?2， 2由图可知，面CDP与面ADP所成二面角为钝二面角，所以面CDP与面ADP所成二面角的余弦值为

?3?2，所以面CDP与面ADP所成二面角大小为.

42空间向量在立体几何中的应用（三）

——利用空间向量求空间距离

1.利用空间向量求空间两点间的距离

????空间两点间的距离，可以表示为以这两点为起点和终点的向量的模，向量AB的模满足关系式AB?AB

22. 利用空间向量求点到面的距离

?如图，设n是平面α的法向量，AB是平面α的一条斜线，

AB?nn

则点B到平面α的距离d?3. 求一个点到平面的距离的一般步骤：

（１）找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量. （２）求出该平面的一个法向量.

（３）求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模.

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