山东省淄博市2017届高三仿真模拟(打靶卷)数学(理)试卷(含答案)

42m2由OA?OB?0，得m?(1?)?0，即m??5，S?OAB?；

4552………………………4分

当直线AB斜率存在时，可设为y?kx?m；

?y?kx?m?222联立方程组?x2，得(4k?1)x?8kmx?(4m?4)?0；

2??y?1?48km4(m2?1)x1?x2??2,x1x2? ………………………6分

4k?14k2?1由OA?OB?0，得x1x2?y1y2?0，

4(m2?1)8km2225m?4(k?1)……7分 ?km?(?)?m?0即(1?k)?，224k?14k?12m4k2?1?m2AB?41?k?h?d?，； 224k?11?k21416k4?17k2?149k2S?OAB?AB?d??1?422516k?8k?1516k4?8k2?1?1116k2?8?2k11等号成立时，k4?，即k??．

1624?1?59

所以S?OAB的最大值为1． …………………………………………9分 （Ⅲ）S?OAB取得最大值时，k??各一个端点；

1，此时直线AB与坐标轴的交点恰好分别是椭圆长轴和短轴2(2,0)，B(0,1)，若线段PA,PB与椭圆长轴和短轴交于点E,F（E,F不是椭圆与坐标轴的不妨取A交点）．

此时点P定在第三象限，即x3?0,y3?0；

直线PA的方程为y?y32y3(x?2)，令x?0，得E(0,?)…………10分 x3?2x3?2同理，得F(?x3,0) ………………………………………………11分 y3?1四边形ABEF的面积为：

S?x2y311AF?BE?2?3?1?22y3?1x3?2(x3?2y3?2)2?2(x3?2)(y3?1)x32?4y32?4x3y3?4x3?8y3?4?2(x3y3?2y3?2)?4x3y3?4x3?8y3?82(x3y3?2y3?2)………………………………………………13分

20．（理科 本小题满分13分）

已知抛物线C:y?4x，点M与抛物线C的焦点F关于原点对称，过点M且斜率为k的直线l与抛物线C交于不同两点A,B，线段AB的中点为P，直线PF与抛物线C交于两点E,D． （Ⅰ）判断是否存在实数k使得四边形AEBD为平行四边形．若存在，求出k的值；若不存在，说明理由； （Ⅱ）求

2

?2PFPM22的取值范围．

(x1,y1),B(x2,y2),E(x3,y3),D(x4,y4)． 解：（Ⅰ）设直线l的方程为y?k(x?1)，设A?y?k(x?1)2222联立方程组?2，得kx?(2k?4)x?k?0．

?y?4x显然k?0，且??0，即(2k?4)?4k?0，得k?1且k?0．

2244-2k2得x1?x2?，x1x2?1 ………………………………………………4分 2kxP?x1?x2222?2?1，yP?k[(2?1)?1]?． 2kkkk(x?1)， 21?k直线PF的方程为：y?k?y?(x?1)k22k2k2?22x?(?4)x??0， 联立方程组?，得1?k222222(1?k)(1?k)(1?k)?y2?4x?4(1-k2)2?2，x3x4?1 ……………………………………6分 得x3?x4?k2若四边形AEBD为平行四边形，

4-2k24(1-k2)2??2?x3?x4，即k2(k2?1)?0， 当且仅当x1?x2?22kk得k?0,?1，与k?1且k?0矛盾． …………………………8分 故不存在实数k使得四边形AEBD为平行四边形 ………………………9分

22（Ⅱ）

PFPM?2??2??2?2????k4?k2?13kk????2???k?1??3 2222k?1k?1?2??2???2????k??k? …………………………11分

222由k?1且k?0，得1?k?1?2；

当k?1?3，2PFPM22取得最小值23?3；

当k2?1?1时，

PFPM22取1；当k2?1?2时，

PFPM22取

1； 2所以

PFPM22?[23?3,1) ………………………………………13分

21．（文科 本小题满分14分）

ex?a?alnx（e?2.71828L是自然对数的底数）已知a?R，函数f?x??． x（Ⅰ）函数f?x?是否存在极大值，若存在，求极大值点，若不存在，说明理由；

ex（Ⅱ）设g(x)?，证明对任意x?0，g(x)?1．

1?xlnx解：（Ⅰ）由已知得，函数f?x?的定义域为?0,???，

f??x??exx??ex?a?x2?a1x?2?x?1e?a??????? ……………………1分 xx（1）若a?1，则ex?a，

当x??0,1?时，f??x??0，f?x?为减函数； 当x??1,???时，f??x??0，f?x?为增函数，

所以当x?1时，f?x?取得极小值，函数无极大值； ……………………2分 （2）若1?a?e，令ex?a，得x?lna??0,1?， 所以f??x?和f?x?在?0,???上的变化情况如下表所示

x ?0,lna? ? 增函数 lna 0 极大值 ?lna,1? 减函数 1 ?1,??? ? 增函数 f??x? 0 极小值 f?x? 所以当x?lna时，函数f?x?取得极大值；………………………………4分 （3）当a?e时，f??x??0，所以f?x?在?0,???上是增函数， 此时不存在极值 …………………………………………5分

x（4）当a?e时，令e?a，得x?lna??1,???，

所以f??x?和f?x?在?0,???上的变化情况如下表所示