山东省淄博市2017届高三仿真模拟(打靶卷)数学(理)试卷(含答案)

所以cos??sin???5 ……………………………………11分 2综上，cos??sin???2或cos??sin???16．（理科 本小题满分12分）

5 …………………12分 2如图，在?ABC中，M是边BC的中点，cos?BAM?（Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）若角?BAC?573 , tan?AMC??． 142?6，BC边上的中线AM的长为21，求?ABC的面积．

解：（Ⅰ）由cos?BAM?57 14得sin?BAM?21 ， 14所以tan?BAM?3 ……………………………………2分 5又?AMC??BAM??B

所以tanB?tan(?AMC??BAM)?tan?AMC?tan?BAM

1?tan?AMCtan?BAM3?2?31??2?35??3 ……………………………………4分 352? …………………6分 3又B??0,?? ， 所以B?（Ⅱ）由（Ⅰ）知B?2???，且?BAC? 所以，C?，则AB?BC…7分 366设BM?x，则AB?2x

在?AMB中由余弦定理得AB2?BM2?2AB?BMcosB?AM2，………9分 即7x2?21 解得x?3 …………………10分

故S1?ABC?2?4x2?sin2?3?33． ………………………………12分 17．（文科 本小题满分12分）

P如图，已知三棱锥O?ABC的三条侧棱OA，OB，OC两两为等边三角形，

M为?ABC内部一点，点P在OM的延长

CPA?PB．

?（Ⅰ）证明：OA?OB；

M（Ⅱ）证明：平面PAB?平面POC； OB证明：（Ⅰ）因为OA，OB，OC两两垂直， A

所以OA2?OC2?AC2，

OB2?OC2?BC2 ……………………………………3分

又△ABC为等边三角形，AC?BC

所以OA2?OC2?OB2?OC2P …………………4分 故OA?OB ………………………………5分 C（Ⅱ）因为OA，OB，OC两两垂直

所以OC?平面OAB …………………………6分

AB?平面OAB，所以OC?AB ……………7分

?M取AB的中点D,连接OD、PD…………………9分 OB因为OA?OB，PA?PB，所以OD?AB,PD?AB

D A

ODIPD?D,所以AB?平面POD

P所以AB?PO ……………………………… 11分

C又COIPO?O,所以AB?平面POC 因为AB?平面PAB,所以平面PAB?平面

?MOBA垂直，?ABC线上，且

POC ………………………………12分

17．（理科 本小题满分12分）

如图，已知三棱锥O?ABC的三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，?ABC为等边三角形，

M为

?ABC内部一点，点P在OM的延长线上，且PA?PB．

（Ⅰ）证明：OA?OB； （Ⅱ）证明：AB?OP；

（Ⅲ）若AP:PO:OC?5:6:1，求二面角P?OA?B的余弦值． 证明：（Ⅰ）因为OA，OB，OC两两垂直，

所以OA?OC?AC，OB?OC?BC……………又△ABC为等边三角形，AC?BC

所以OA?OC?OB?OC …………………2分

?2222222222P1分

C故OA?OB …………………………3分 （Ⅱ）取AB的中点D，连接OD、PD ………4分 因为OA?OB，PA?PB，所以OD?AB,PD?AB

OMBD AODIPD?D，所以AB?平面POD

所以AB?PO …………………6分 （Ⅲ）如图建立空间坐标系

因为AP:PO:OC?5:6:1，可设OC?1,则AP?

5,PO?6

由（Ⅰ）同理可得OA?OB?OC?1 …………………7分 因为PO?AP?OA，

所以 OA?AP …………………8分 所以O(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1) 设P(x,y,z) C（x?0,y?0,z?0 ）

?M222Pz BOy D Ax uuuruuur?OA?AP?0?x?1?0?x?1?uuuruuur???所以?AB?OP?0???x?y?0??y?1

r?uuu?x2?y2?z2?6?z?2?OP?6???所以P(1,1,2) …………………………10分

uuur平面OAB的法向量为OC?(0,0,1)

uuruuur?r?n?OP?0?x0?y0?2z0?0??设平面POA的法向量为n?(x0,y0,z0) 则?u uruuurx?0??n?OA?0?0r取z0?1, 则y0??2 所以n?(0,?2,1) …………………………11分

uuurrOC?n15cos??uuu? …………………………12分 rr?5?15OC?n18．（文科 本小题满分12分）

某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖一次．抽奖方法是：从装有标号为

1,2,3,4的4个红球和标号为1,2的2个白球的箱中，随机摸出2个球，若摸出的两球号码相同，可

获一等奖；若两球颜色不同且号码相邻，可获二等奖，其余情况获三等奖．已知某顾客参与抽奖一次．

（Ⅰ）求该顾客获一等奖的概率； （Ⅱ）求该顾客获三获奖的概率．

解：标号为1,2,3,4的4个红球记为A1,A2,A3,A4，标号为1,2的2个白球记为B1,B2． 从中随机摸出2个球的所有结果有：

?A1,A2?，?A1,A3?， ?A1,A4?，?A1,B1?，?A1,B2?，?A2,A3?，?A2,A4?，?A2,B1?，?A2,B2?，?A3,A4?，?A3,B1?，?A3,B2?，?A4,B1?，?A4,B2?，?B1,B2?，共15个．这些基本事件的出现

是等可能的． ……………………5分

（Ⅰ）摸出的两球号码相同的结果有：?A1,B1?，?A2,B2?，共2个． 所以“该顾客获一等奖”的概率P?2．…………………………………8分 15（Ⅱ）摸出的两球颜色不同且号码相邻的结果有：?A1,B2?,?A2,B1?,?A3,B2?，共3个．