空间向量与立体几何经典题型

（3）平面与平面所成的角

求法：○1“一找二证三求”，找出这个二面角的平面角，然后再来证明我们找出来的这个角是我们要求的二面角的平面角，最后就通过解三角形来求。○2通过射影面积来求

cos??S射影S原（在其中一个平面内找出一个三角形，然后找这个三角形在另外一个平面的

射影，那么这个三角形的射影面积与原三角形面积之比即为cosα，注意到我们要求的角为α或π－α）；○3向量法，先求两个平面的法向量所成的角为α，那么这两个平面所成的二面角的平面角为α或π－α。

我们现在来解决立体几何的有关问题的时候，注意到向量知识的应用，如果可以比较容易建立坐标系，找出各点的坐标，那么剩下的问题基本上就可以解决了，如果建立坐标系不好做的话，有时求距离、角的时候也可以用向量，运用向量不是很方便的时候，就用传统的方法了！

4．解题注意点

（1）我们现在提倡用向量来解决立体几何的有关问题，但是当运用向量不是很方便的时候，传统的解法我们也要能够运用自如。

（2）我们如果是通过解三角形去求角、距离的时候，做到“一找二证三求”，解题的过程中一定要出现这样一句话，“∠α是我们所要求的角”、“线段AB的长度就是我们所要求的距离”等等。让人看起来一目了然。

（3）用向量来求两条异面直线所成角时，若求出cosα＝x，则这两条异面直线所成的角为α＝arccos|x|

（4）在求直线与平面所成的角的时候，法向量与直线方向量所成的角或者法向量与直线的方向量所成角的补交与我们所要求的角互余，所以要锐角，就用

?2??或???2，若求出的角为

?2??，若求出的钝角，就用???2。

（5）求平面与平面所成角的时，若用第○2、○3种方法，先要去判断这个二面角的平面角是钝角还是锐角，然后再根据我们所作出的判断去取舍。

二、 强化训练

（一） 选择题

1．空间有四个点，如果其中任意三个点都不在同一条直线上，那么经过其中三个点的平面

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A．可能有3个，也可能有2个 B．可能有4个，也可能有3个 C．可能有3个，也可能有1个 D．可能有4个，也可能有1个 2．下列命题中正确的个数是（ ） ①三角形是平面图形 ②四边形是平面图形

③四边相等的四边形是平面图形 ④矩形一定是平面图形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3．设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题 ①若a?b,a??,则b//?

②若a//?,???,则a??

（ ）

③a??,???,则a//? 其中正确的命题的个数是

A．0个

B．1个

④若a?b,a??,b??,则??? C．2个

D．3个

（ ）

4．如图所示，已知正四棱锥S—ABCD侧棱长为2，底

面边长为3，E是SA的中点，则异面直线BE与SC 所成角的大小为 （ ） A．90° C．45°

B．60° D．30°

5．设有如下三个命题：甲：相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内；乙：直

线l、m中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交． 当甲成立时，

A．乙是丙的充分而不必要条件 B．乙是丙的必要而不充分条件

C．乙是丙的充分且必要条件 D．乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件

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6．若a，b，l是两两异面的直线，a与b所成的角是

则?的取值范围是

A．[

?，l与a、l与b所成的角都是?， 3

（ ）

?5?66,] B．[

??,] 32C．[

?5?36,] D．[

??,] 627 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是( )

8343 B C D 38348 在直二面角α—l—β中，直线a?α,直线b?β,a、b与l斜交，则( )

A a不和b垂直，但可能a∥b B a可能和b垂直，也可能a∥b C a不和b垂直，a也不和b平行 D a不和b平行，但可能a⊥b

9 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是( )

????A B C D

6432A 10．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面 A1B1C1D1的中心，则O到平面AB C1D1的距离为 （B）

2231 A、 B、 C、 D、

4222D1 A1 O C1 B1 C 11．△ABC的顶点B在平面a内，A、C在a的同一侧，AB、BC与a所成的角分别是30°和45°,若AB=3,BC=42 ,AC=5,则AC与a所成的角为

(A)60° (B)45° (C)30° (D)15°

A D B 12．矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四面体ABCD的外接球的体积为

A．

（ ） C．

125? 12B．

125? 9125? 6D．

125? 3（二）填空题

13 设X、Y、Z是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X⊥Z且Y⊥Z?X∥Y”为真命题的是_________(填序号)

①X、Y、Z是直线；②X、Y是直线，Z是平面；③Z是直线，X、Y是平面；④X、Y、Z是平面.

14 已知∠AOB＝90°,过O点引∠AOB所在平面的斜线OC，与OA、OB分别成45°、60°，则以OC为棱的二面角A—OC—B的余弦值等于______

15．正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为2∶3,则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为_________

16．空间四点A、B、C、D中，每两点所连线段的长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则P与Q的最短距离为_________ O 共24页 第15页

D A C B （一） 解答题

17. 已知ABCD，从平面AC外一点O引向量

OE?kOA,OF?KOB,OG?kOC,OH?kOD，

（1）求证：四点E,F,G,H共面； （2）平面AC//平面EG．

18. 如图，P?ABCD是正四棱锥,ABCD?A1B1C1D1是正方

体，其中AB?2,PA?D A B

C

P 6．

（Ⅰ）求证：PA?B1D1；

（Ⅱ）求平面PAD与平面BDD1B1所成的锐二面角?的大小；

（Ⅲ）求B1到平面PAD的距离．

19. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点． （1）求证：EF//平面PAD；

（2）当平面PCD与平面ABCD成多大二面角时， 直线EF?平面PCD？

20．（安徽省合肥市2007年高三第三次教学质量检测）已知，在如图所示的几何体ABCED中，EC⊥面ABC，DB⊥面ABC，CE=CA=CB=2DB，∠ACB=90°，M为AD的中点。 （1）证明：EM⊥AB；

（2）求直线BM和平面ADE所成角的大小。

21. （山东省济宁市2006—2007学年度高三年级第一次摸底考

试）如图，四面体C—ABD，CB = CD，AB = AD， ∠BAD = 90°.E、F分别是BC、AC的中点.

（Ⅰ）求证：AC⊥BD；

（Ⅱ）如何在AC上找一点M，使BF∥平面MED？并说明理由；

（Ⅲ）若CA = CB，求证：点C在底面ABD上的射影是线段BD的中点.

A

第18题DB

C

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