空间向量与立体几何经典题型

的空间直角坐标系，则D(0，0，，0)A?0，?????????222，a，0?，B0，a，0，C?a，0，0?????????2??2??2???????22222V?0，atan??0，atan??0，0???2a，?，于是DV????2a，?，DC????2a，?，22??????AB?(0，2a，0)．

·DC?(0，2a，0)·??从而AB????2a，0，0??0，即AB?DC．

?2???22·DV?(0，2a，0)?0，atan??同理AB??2a，??0，即AB?DV． 2??DV?D，∴AB?平面VCD．

又AB?平面VAB，

∴平面VAB?平面VCD．

（Ⅱ）设平面VAB的一个法向量为n?(x，y，z)，

又DC?2ay?0，?·AB?0，n·DV?0，得?2则由n 2ax?aztan??0．???22??22?a，0?0，1)，又BC??可取n?(tan?，??2a，?， 2??V 2atan?πn·BC22??sin?， 于是sin?262n·BCa·1?tan?C D A

x B y πππ，∵0???，∴?=． 224π故交??时，

4π即直线BC与平面VAB所成角为．

6即sin??考点五 折叠、展开问题

例题8．（2006年辽宁高考）已知正方形ABCD E、F分别是AB、CD的中点,将ADE沿DE折起,如图所示,记二面角A?DE?C的大小为?(0????)

(I) 证明BF//平面ADE;

共24页 第9页 (II)若ACD为正三角形,试判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上,证明你的结论,并求角?的余弦值

分析:充分发挥空间想像能力，抓住不变的位置和数量关系，借助模型图形得出结论，并给出证明.

解析: (I)证明:EF分别为正方形ABCD得边AB、CD的中点,

?EB//FD,且EB=FD,

?四边形EBFD为平行四边形

?BF//ED.

EF?平面AED,而BF?平面AED,?BF//平面ADE

(II)如右图,点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,过点A作AG垂直于平面BCDE,垂足为G,连结GC,GD

?ACD为正三角形,?AC=AD.

?CG=GD.

G在CD的垂直平分线上, ?点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,

过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则AH?DE,所以?AHD为二面角A-DE-C的平面角 即?AHG??.

设原正方体的边长为2a,连结AF,在折后图的?AEF中,AF=3a,EF=2AE=2a,即?AEF为直角三角形, AG?EF?AE?AF.

?AG?32a 在Rt?ADE中, AH?DE?AE?AD?AH?a. 25?GH?a25,cos??GH1? AH4点评：在平面图形翻折成空间图形的这类折叠问题中，一般来说，位于同一平面内的几何元素相对位置和数量关系不变：位于两个不同平面内的元素，位置和数量关系要发生变化，翻折问题常用的添辅助线的方法是作棱的垂线。 考点六 球体与多面体的组合问题

例题9．设棱锥M—ABCD的底面是正方形，且MA＝MD，MA⊥AB，如果ΔAMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.

分析：关键是找出球心所在的三角形，求出内切圆半径.

共24页 第10页

解： ∵AB⊥AD，AB⊥MA，

∴AB⊥平面MAD， 由此，面MAD⊥面AC.

记E是AD的中点，从而ME⊥AD. ∴ME⊥平面AC，ME⊥EF.

设球O是与平面MAD、平面AC、平面MBC都相切的球. 不妨设O∈平面MEF，于是O是ΔMEF的内心. 设球O的半径为r，则r＝设AD＝EF＝a,∵SΔAMD＝1. ∴ME＝

2S△MEF

EF?EM?MF2222.MF＝a?(),

aar＝

2a?22?a2?()2aa≤

2＝2-1。

2?22当且仅当a＝

2，即a＝2时，等号成立. a∴当AD＝ME＝2时，满足条件的球最大半径为2-1.

点评：涉及球与棱柱、棱锥的切接问题时一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系。注意多边形内切圆半径与面积和周长间的关系；多面体内切球半径与体积和表面积间的关系。 一、

方法总结

1．位置关系：

（1）两条异面直线相互垂直

证明方法：○1证明两条异面直线所成角为90o；○2证明两条异面直线的方向量相互垂直。

（2）直线和平面相互平行

证明方法：1证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；2证明这条直线的方向量和○○这个平面内的一个向量相互平行；○3证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。

（3）直线和平面垂直

证明方法：1证明直线和平面内两条相交直线都垂直，2证明直线的方向量与这个平面○○

共24页 第11页

内不共线的两个向量都垂直；○3证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行。

（4）平面和平面相互垂直

证明方法：○1证明这两个平面所成二面角的平面角为90o；○2证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面；○3证明两个平面的法向量相互垂直。

2．求距离：

求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。

（1）两条异面直线的距离

求法：利用公式d?|AB·n||n|（其中A、B分别为两条异面直线上的一点，n为这两

条异面直线的法向量）

（2）点到平面的距离

求法：○1“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。○2等体积法。○3向量法，利

用公式d?|AB·n||n|（其中A为已知点，B为这个平面内的任意一点，n这个平面的法向

量）

3．求角

（1）两条异面直线所成的角

求法：○1先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；2通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直○线所成角得范围是(0,相应的锐角。

（2）直线和平面所成的角

求法：○1“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。○2向量法，先求直线的方向量于平面的法向量所成的角α，那么所要求的角为

?2]，向量所成的角范围是[0,?]，如果求出的是钝角，要注意转化成

?2??或???2。

共24页 第12页