空间向量与立体几何经典题型

例题1. 已知A,B,C三点不共线，对平面外任一点，满足条件OP?试判断：点P与A,B,C是否一定共面？

122 OA?OB?OC，

555分析：要判断点P与A,B,C是否一定共面，即是要判断是否存在有序实数对x,y，使

AP?xAB?yAC或对空间任一点O，有OP?OA?xAB?yAC。

解：由题意：5OP?OA?2OB?2OC，

∴(OP?OA)?2(OB?OP)?2(OC?OP)， ∴AP?2PB?2PC，即PA??2PB?2PC， 所以，点P与A,B,C共面．

点评：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的

充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．

例题2. 如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角

11BD，AN?AE．求证：MN//平面CDE． 33分析：要证明MN//平面CDE，只要证明向量NM可以用平面CDE内的两个不共线的向量DE和DC线性表示．

1证明：如图，因为M在BD上，且BM?BD，所以

311111MB?DB?DA?AB．同理AN?AD?DE，

33333又CD?BA??AB，所以MN?MB?BA?AN

线BD，AE上，且BM?11112121?(DA?AB)?BA?(AD?DE)?BA?DE?CD?DE．又CD与33333333根据共面向量定理，可知MN，CD，DE共面．由于MN不在平面CDEDE不共线，

内，所以MN//平面CDE．

点评：空间任意的两向量都是共面的． 考点二 证明空间线面平行与垂直

例题3. 如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点， （I）求证：AC⊥BC1； （II）求证：AC 1//平面CDB1；

分析：（1）证明线线垂直方法有两类：一是通过三垂线定理或逆定理证明，二是通过线面垂直来证明线线垂直；（2）证明线

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面平行也有两类：一是通过线线平行得到线面平行，二是通过面面平行得到线面平行. 解法一：（I）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5，

∴ AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴ AC⊥BC1；

（II）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵ D是AB的中点，E是BC1的中点，∴ DE//AC1，∵ DE?平面CDB1，AC1?平面CDB1，∴ AC1//平面CDB1；

解法二：∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC、BC、C1C两两垂直，如图，以C为坐标原点，直线CA、CB、C1C分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则C（0,0，0），A（3,0，0），C1（0,0，4），B（0,4，0），B1（0,4，4），D（2,0）

（1）∵AC＝（－3,0，0），BC1＝（0，－4,0），∴AC?BC1＝0，∴AC⊥BC1. （2）设CB1与C1B的交战为E，则E（0,2，2）.∵DE＝（－4），∴DE?C A B y AE z CB3，

x 23，0,2），AC1＝（－3,0，21AC1，∴DE∥AC1. 2转化

转化

点评：平行问题的转化：

面面平行

线面平行

线线平行；

主要依据是有关定义及判定定理和性质定理．

例题4. （北京市东城区2007年综合练习）如图，在棱长为2的正方体

ABCD?A1B1C1D1中,O为BD1的中点,M为BC的中点,N为AB的中点，P为BB1的中点. （I）求证：BD1?B1C； （II）求证BD1?平面MNP；

（III）求异面直线B1O与C1M所成角的大小.

分析：本小题考查直线与平面垂直，二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力. 解法一：（I）连结BC1 由正方体的性质得BC1是BD1在

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平面BCC1B1内的射影

且B1C?BC1，

所以BD1?B1C (II)又MN?PM?M，

?BD1?平面MNP.

（III）延长CB到Q,使BQ?BM,连结B1Q,OQ

则QM//C1B1,且QM?C1B1.?B1Q//C1M.

??OB1Q是异面直线B1O与C1M所成的角.

由于正方体的棱长为2，

则B1O?3,B1Q?B1B2?BQ2?5,设底面ABCD的中点为O1,

可求得OQ?OO12?O1Q2?6.cosOB1Q?(3)2?(5)2?(6)22?3?5?1515

即异面直线B1O与C1M所成角的大小为arccos解法二：（I）如图建立空间直角坐标系. 则B（2，2，0），C（0，2，0） B1（2，2，2），D1（0，0，2）.

15. 15 BD1?(?2,?2,2),B1D?(?2,0,?2),

………………3分

BD1?B1C?4?0?4?0.BD1?B1C?BD1?B1C

（II）M(1,2,0),P(2,2,1),N(2,1,0)，

MP?(1,0,1),MN?(1,?1,0),?BD1?MP??2?0?2?0,BD1?MN??2?2?0?0,

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?BD1?MN,BD1?MP.又MN?PM?M,

?BD1?平面MNP.

（III）O(1,1,1),C1(0,2,2),设异面直线B1O与C1M所成的角为?，

则B1O?(?1,?1,?1),C1M?(1,0,?2).

B1O?C1M??1?1?(?1)?0?(?1)?(?2)?1.

?cos??|B1O?C1M||B1O|?|C1M|?13?5?155.

即异面直线B1O与C1M所成角的大小为arccso

155.

点评：证明线面垂直只需证此直线与平面内两条相交直线垂直即可.这些从本题证法中都能十分明显地体现出来

考点三 求空间图形中的角与距离

根据定义找出或作出所求的角与距离，然后通过解三角形等方法求值，注意“作、证、算”的有机统一.解题时注意各种角的范围：异面直线所成角的范围是0°＜θ≤90°，其方法是平移法和补形法；直线与平面所成角的范围是0°≤θ≤90°，其解法是作垂线、找射影；二面角0°≤θ≤180°，其方法是：①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法 另也可借助空间向量求这三种角的大小.

例题5. （河南省开封市2007届高三年级第三次质量检测）在长方体ABCD—A1B1C1D1中，

AA1=1，AD=DC=3.

（1）求直线A1C与D1C1所成角的正切值； （2）在线段A1C上有一点Q，且C1Q=

角的大小.

分析：求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法 求二面角的大小也可应用面积射影法，向量法办 1C1A1，求平面QDC与平面A1DC所成锐二面3解法一：（I）?C1D1//CD,

??A1CD为异面直线A1C与D1C1所成的角

连A1D，在Rt△A1DC中，CD=3，A1D=2，

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