（完整word版）微积分（数学分析）练习题及答案doc

或

?x于是

2?ay???y2?ax?y'?0. （1）

ay?x2y'?2. ?y2?ax?0?. （2）

y?ax再对（1）式求导，得：2x?ay'?(2yy'?a)y'?(y?ax)y''?0, 即

2y''(y2?ax)?2ay'?2yy'2?2x. （3）

把（2）式代入（3）式的右边，得

?2a3xy?2xy(x3?y3?3axy)2ay'?2yy'?2x?.

(y2?ax)22再利用方程就得到

2a3xyy''??2. 3(y?ax)16. 解: 由于F(0,0,0)?0,Fz(0,0,0)??1?0,F,Fx,Fy,Fz处处连续，根据隐函数定理18.3，在原点(0,0,0)附近能惟一确定连续可微得隐函数z?f(x,y)，且可求得它得偏导数如下：

Fx?zyz3?2x???, ?xFz1?3xyz2Fyxz3?3y2?z???. 2?yFz1?3xyz17. 解: (1)令F(x,y,z)?x?y?z?3xyz, 则有

222Fx?2x?3yz, Fy?2y?3xz, Fz?2z?3xy.

由于F(P0)?0, Fx, Fy, Fz均连续,且

Fy(P0)?Fz(P0)??1?0,

故在点P0(1,1,1)附近由上述方程能确定隐函数y?y(z,x)和z?z(x,y). (2)当Fy?0时, 由定理知

yx??

Fx2x?3yz??; Fy2y?3xz9

同理, 当Fz?0时, 由定理知

zx??于是求得

Fx2x?3yz??. Fz2z?3xyfx(x,y(z,x),z)?f1?f2yx?y2z3?2xyz3yx2xyz3(2x?3yz)

?yz?,2y?3xz23fx(x,y,z(x,y))?f1?f3zx?y2z3?3xy2z2zx3xy2z2(2x?3yz)

?yz?.2z?3xy23并且有

fx(1,y(1,1),1)??1, fx(1,1,z(1,1))??2.

18. 解: 首先，F(P0)?G(p0)?0,即P0满足初始条件. 再求出F，G的所有一阶偏导数

Fx??2x,Fy??1,Fu?2u,Fv?2v, Gx??y,Gy??x,Gu??1,Gv?1.

容易验算，在点P0处的所有六个雅可比行列式中只有

?(F,G)?(x,v)?P0FxGxFvGv?P0?44?0.

?11因此，只有x,v难以肯定能否作为以y,u为自变量的隐函数. 除此之外，在P0的近旁任何两个变量都可作为以其余两个变量为自变量的隐函数.

如果我们想求得x?x(u,v),y?y(u,v)的偏导数，只需对方程组分别关于u,v求偏导数，得到

??2u?2xxu?yu?0, （1）

??1?yxu?xyu?0,?2v?2xxv?yv?0, （2） ?1?xy?yx?0.vv?由（1）解出

xu?2xu?12x?2yu,y??. u2x2?y2x2?y10

由（2）解出

xv?19. 解: 设

2xv?12x?2yv,y??. v222x?y2x?yF(x,y,u,v)?u2?v2?x2?y2?1,

G(x,y,u,v)?u?v?xy.

(1) F,G关于u,v的雅可比行列式是

?(F,G)2u2v???2(u?v), 1?1?(u,v)当u??v时, 在满足方程组的任何一点(x,y,u,v)的一个邻域内, 由方程组可以唯一确定

u,v是x,y的可微函数;

(2) F,G关于x,u的雅可比行列式是

?(F,G)2x2u??2(x?uy), y1?(x,u)当x?uy时, 在满足方程组的任何一点(x,y,u,v)的一个邻域内, 由方程组可以唯一确定

x,u是y,v的可微函数.

G(x,y,z)?x2?y2?z2. 它们在(3, 4, 5)处的偏20. 解: 设 F(x,y,z)?x2?y2?z2?50，

导数和雅可比行列式之值为：

?F?F?F?8, ?6, ?10, ?y?x?z?G?G?G?8, ?6, ??10, ?y?x?z和

?(F,G)?(F,G)?(F,G)?120， ??160， ?0.

?(y,z)?(x,y)?(z,x)所以曲线在(3, 4, 5)处的切线方程为：

x?3y?4z?5， ???1601200即

11

?3(x?3)?4(y?4)?0, ??z?5. 法平面方程为

?4(x?3)?3(y?4)?0(z?5)?0， 即

4x?3y?0.

21. 解: 令F(x,y,z)?e?z?xy?3, 则

zFx(x,y,z)?y, Fy(x,y,z)?x, Fz(x,y,z)?ez?1,

故FxM0?1, FyM0?2, FzM0?0, 因此曲面在点M0(2,1,0)处的法向量为

rn?(1,2,0),

所求切平面方程为

1?(x?2)?2?(y?1)?0,

即

x?2y?4?0.

法线方程为

?x?2y?1?,? 12??z?0,?即

?2x?y?3?0, ?z?0,?22. 解: 这个问题实质上就是要求函数

f(x,y,z)?x2?y2?z2（空间点(x,y,z)到原点(0,0,0)的距离函数的平方）

在条件x?y?z?0及x?y?z?1?0下的最大、最小值问题. 应用拉格朗日乘数法，令

22L(x,y,z,?,?)?x2?y2?z2???x2?y2?z????x?y?z?1?.

对L求一阶偏导数，并令它们都等于0，则有

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