江苏省镇江市2020届高三数学考前模拟(三模)试题(含解析)

在?ABC中，由余弦定理得：b2?a2?c2?2accosB 又B??3，故28?a2?c2?ac，即：28??a?c??3ac

2又ac?24，解得：??a?6?a?4或? c?4c?6??【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到向量模长的求解和垂直关系的应用、正弦定理化简边角关系式、三角形内角和的应用、余弦定理解三角形，属于中档题.

17.江心洲有一块如图所示的江边，OA，OB为岸边，岸边形成120?角，现拟在此江边用围网建一个江水养殖场，有两个方案：方案l：在岸边OB上取两点P,Q，用长度为1km的围网依托岸边线PQ围成三角形MPQ（MP，MQ两边为围网）；方案2：在岸边OA，OB上分别取点E,F，用长度为1km的围网EF依托岸边围成三角形EOF.请分别计算VMPQ，

△EOF面积的最大值，并比较哪个方案好.

【答案】?MQP，?EOF面积的最大值分别为km，【解析】 【分析】

18232km.其中方案2好. 12分别在三角形面积公式中应用基本不等式、余弦定理中利用基本不等式计算出方案1和方案2中?MPQ和?EOF面积的最大值，通过最大值的比较可知方案2好. 【详解】方案1：设MP?xkm，MQ?ykm

由已知“用长度为1km的围网，MP，MQ两边为围网”得x,y??0,1?且x?y?1

?SMPQ11?x?y??1?1?1 ?xysin?PMQ???sin???1????22?2?22?2?8221?且?PMQ?时，等号成立 221??MPQ面积的最大值为km2

8当且仅当x?y?方案2：设OE?akm，OF?bkm

在?EOF中，由余弦定理得：EF2?OE2?OF2?2OE?OF?cos?EOF 即1?a?b?2a?b?cos2222? 33时等号成立） 3?1?a2?b2?a?b?2ab?ab?3ab（当且仅当a?b??S ?EOF ?12?11333（当且仅当a?b?时等号成立） absin????23232123??EOF面积的最大值为32km 12Q31? ?方案2好 128【点睛】本题考查解三角形的实际应用问题，主要是求解三角形面积的最大值，涉及到基本不等式的应用，属于常规题型.

18.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x?4)?y?1，且圆C与x轴交于M,N两

22点，设直线l的方程为y?kx(k?0).

（1）当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；

uuuruuurA,B（2）已知直线l与圆C相交于两点.（i）OA?2AB，求直线l方程；（ii）直线AM与直线BN相交于点P，直线AM，直线BN，直线OP的斜率分别为k1，k2，k3，是否存在常数a，使得k1?k2?ak3恒成立？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）l:y?1515（2）（i）直线l的方程为y?（ii）存在常数a?2，使x；x；1525得k1?k2?2k3恒成立. 【解析】 【分析】

（1）利用圆心到直线的距离等于半径构造关于k的方程，解方程求得结果；（2）（i）设

uuuruuur?33?A?x1,y1?，由OA?2AB可得B?x1,y1?，代入圆的方程可求解出A点坐标，从而得到斜

?22?率，求得直线方程；（ii）将直线AM方程代入圆的方程可求得A点坐标；同理将直线BN方程代入圆的方程可求得B点坐标；利用kOA?kOB可求得k1,k2的关系，利用k1,k2表示出P点坐标，整理可得k3?1k1，进而可得到k1,k2,k3满足k1?k2?2k3，得到常数a. 54k1?k2【详解】（1）由题意，k?0 ?圆心C到直线l的距离d?

Q直线l与圆C相切 ?d??1，解得：k?15

1?k2154k?直线l方程为：y?15x

15（2）（i）设A?x1,y1?，由OA?2AB得：B?uuuruuur?33?x1,y1? 22??25???x1?4?2?y12?1x?1??8?22由??3，解得：? ??3?15??x1?4???y1??1?y??122??????8? ?k??1515 Qk?0?k?2525?直线l的方程为：y?15x

25（ii）由题意知：M?3,0?，N?5,0?

222?1?kx?3k则lAM:y?k1?x?3?，与圆C:?x?4??y2?1联立得：?x?3??11?5??0 ??????3k12?52k1?3k12?5QxM?3 ?xA??A?,22? 2

1?k1?1?k11?k1?2?5k2?3?2k2?B,同理可得：?22?

1?k1?k?22?QkOA2k1?2k221?k121?k2?2?kOB ?2，整理可得：?1?k1k2??3k1?5k2??0

3k1?55k2?321?k121?k23Qk1k2??1 ?k2??k1

53k1?5k2?x??0?k1?k2??y0?k1?x0?3?设P?x0,y0? ?? ?? y?kx?5?2kk???2012?0?y?0?k1?k2?3k1?3k?5k2?2k1k2??153k1?4?1k P,?P?1,?k?，即 ???311544k?kk?k5???1212?42?k1?k2?k1?2k3

5?存在常数a?2，使得k1?k2?2k3恒成立

【点睛】本题考查根据直线与圆的位置关系求解直线方程、直线与圆中的存在性、定值类问题，关键是能够灵活运用直线与圆联立，将所涉及的变量用同一变量来表示，从而可整理得到所求参数的值.

19.已知函数f?x???mx?n?e?x（m,n?R，e是自然对数的底数）.

（1）若函数f?x?在点1,f?1?处的切线方程为x?ey?3?0，试确定函数f?x?的单调区间；

???1?x?,2?，都有f?x??x恒成立，求实数m的（2）①当n??1，m?R时，若对于任意??2?最小值；②当m?n?1时，设函数g?x??xf?x??tf??x??e?x?t?R?，是否存在实数

a,b,c??0,1?，使得g?a??g?b??g?c?？若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由.

2【答案】（1）f?x?在?0,???上单调递减，在???,0?上单调递增；（2）①e?1；②存在2