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如果N40与N41合并形成列流4,1，N42与N43合并形成列流4,3，则编组方案为“0+1,2+3”。
把方向上各技术站的编组方案写在一起，中间用分号“；”隔开，便可以表示方向上的
N43单开，N30,N31合开，N32单开，N20,N21编组方案。仍看图2-3-1，若N40,N41,N42合开，
单开，N10单开，则方向上的编组方案为“0+1+2，3；0+1，2；0，1；0”，此编组方案的列流图如图2-3-2所示。这是由编组方案表达式画出对应的列流图。反过来，已知列流图，也能写出对应的编组方案表达式。应当注意的是，在画列流图确定各支列流吸收的车流内容时，必须遵循车流接续归并的原则。 A4AAAAN40?N41?NN30?NN20?NN图2-3-2 由已知编组方案画出列流图 NN10?NN21?N三、单组列车编组方案数
从图2-3-1不难看出，对有n个技术站的线路方向，除A0站外，任一Ak?k?1,2,?,n?1?站恰好发出k支车流。记Ak站的编组方案数为f?k?，这也就是k支车流的组合方案数。显然，f?1??1。为了推导公式的方便，规定f?0??1。
按照单组列车的含义，列车中车流的到站不应近于列车的到站，所以在Ak站发出的k支车流中，最短的那支车流?k,k?1?必须纳入最短的列流k,k?1中，否则不为任何列流所吸收。这意味着，在Ak站的单组列车编组方案中，总存在一支列流：
ik,k?1。
1,?,k?1?与除车流?k,k?1?外，Ak站还有k?1支车流，从中任意选出i支车流?i?0,车流?k,k?1?合开，有Ck?1种选法，每一种选法都可以与剩下的k?1-i支车流的组合方式匹配形成编组方案，而k?1-i支车流的组合方式数也就是Ak?1?i站的编组方案数
f?k?1?i?。由组合数学中的加法法则和乘法法则，可知Ak站的单组列车编组方案数为
f?k???Cki?1f?k?1?i?i?0k?1?k?2?
（2-3-1）
上式是计算技术站单组列车编组方案数的递推公式。由于方向上的编组方案是由各技术站的
n?1i?1编组方案配合而成的，故有n个技术站的线路方向上全部编组方案数q?n?为
q?n??f?n?1?f?n?2??f?1???f?i? （2-3-2）
例如图2-3-1中，A2,A3,A4站的编组方案数分别为
1f?2??C10f?1??C1f?0??2
方向上总的编组方案数为
013f?4??C3f?3??C3f?2??C32f?1??C3f?0??15
012f?3??C2f?2??C2f?1??C2f?0??5
应当指出，公式（2-3-1）和（2-3-2）中包含了“相邻车流合并”和“不相邻车流合并”（如A4站的N40与N42合并，N41与N43合并形成的方案“0+2，1+3”是不相邻车流合并
方案）这样两类组合方式在内。在实际的运输组织工作中，用得最多的还是相邻车流合并这种方式，如表2-1-1中的“╳╳站及其以远”便蕴含此意。如果排除不相邻车流合并这种情况，那么A4站的编组方案数f??k?为 f??k??2k?1q?5??f?4?f?3?f?2?f?1??15?5?2?1?150
?k?1? （2-3-3）
?n?1??n?2?/2有n个技术站的方向上总的编组方案数q??n?为
q??n??2 （2-3-4）
表2-3-1列出了n=2~9的直线方向单组列车编组方案数。从表中可以看出，随着n的增大，方案数目爆炸式地增长。如何解决这种“组合爆炸”问题，是车流组织面临的一大难题。现在通常采用的方法是分阶段计算法，即根据车流集散规律把全路划分成多个地区或方向，使每个地区或方向包含少数几个主要编组站——通称“支点站”，第一步，计算支点站的列车编组计划，第二步，分别计算各相邻支点站之间的编组计划。支点站的选择应注意：
（1）是大量车流产生或消失的地点；
（2）具有先进的技术设备和强大的改编能力； （3）是变更列车重量（或换长）标准的地点；
（4）是地理上的自然分界点，如国际联运的口岸站，水陆联运的交接站，铁路方向的起讫点等；
（5）处于几条铁路线的交汇地点。
表2-3-1 直线方向单组列车编组方案数 n 2 3 4 5 6 7 8 9 f(n?1) 1 1 2 2 2 2 5 15 52 203 877 ≈1.39?1064 2097152 9 4140 ≈5.75?10128 268435456 12 q(n) 10 150 7800 1583400 4 8 8 16 32 32768 f?(n?1) 1 q?(n) 1 64 1024 四、总体思路
在为数极多的编组方案中选择经济有利的方案，这实质上是大规模的组合优化问题。关
于优化目标，有两种考虑，一个是以方向上总的车小时消耗最小为目标，另一个是以方向上总的车小时节省最大为目标。为简化起见，在计算方案值时，与方案变化无关的车小时消耗（或节省）均不列入计算。
关于优化算法，国内外专家学者进行了长期的研究和探索，提出了各种各样的优化方法。按其性质，可以归纳成三大类：
第一类是穷举法，习惯上称为绝对计算法，就是对所有的编组方案逐一计算其车小时总消耗，其中总消耗最小的方案即为最优方案。
第二类可称为筛选法，其要点是通过一定的判别条件来删除或排除部分不利的方案，精
简方案数，缩小搜索范围，而对未删除的方案进行分析比较，逐步选出经济有利的方案。属于这一类方法的有分析计算法、表格计算法、树形筛选法、寻求直达列车有利去向数法等，其中以表格计算法用得最为普遍。
第三类可统称为数学规划法，就是把车流组织问题化为一类数学规划问题来建模求解。属于这一类的有整数规划法、动态规划法（即图论方法）、二次0-1规划法、网络分析法等。
后面几节分别对绝对计算法、表格计算法、整数规划法和二次0-1规划法作一介绍。
第二节 绝对计算法
绝对计算法是最原始的方法，其算法思想最简单，计算工作量却最大。当支点站数达到5时，手工计算已相当困难，支点站数达到9时，即使用计算机选优也难以实现。尽管如此，对于初学者来说，掌握这个方法有助于理解编组方案的构成和方案值的计算原理，同时可为学习其他方法打下基础，所以在此仍作一简要介绍。
一、目标函数
前已指出，与方案变化无关的车小时消耗不需列入计算。在确定支点站单组列车编组计划时，从一个支点站至下一个支点站的列车是必开的，即无论什么编组方案，从一个支点站至下一个支点站的这种“非直达列流”总是存在的。它的车小时消耗便是与方案变化无关的消耗。因此，在计算时，只对直达列流计算集结车小时消耗，非直达列流不计；只对直达车流计算途中改编车小时消耗，非直达车流不计。
以
F耗记方向上总的车小时消耗，绝对计算法的目标函数为
minF耗?F集?F改 （2-3-5）
其中
F集——所有直达列流在始发站产生的集结车小时总消耗； F改——所有直达车流在途中支点站的改编车小时总消耗。
i站编发的直达列流有把编开直达列流的支点站集合记作Z，设i?Z，
记作
iT集ki支，i站的T集，则
iF集??kiT集i?Z
jt节 （2-3-6）
jtN把有改编车流的支点站集合记作G，设j?G，在j站改编的车流量为改，j站的节记
作
，则
jjF改??N改t节j?G
于是，式（2-3-5）成为
（2-3-7）
ijjminF耗??kiT集??N改t节i?Zj?G （2-3-8）
需要说明的是，式（2-3-7）中改的确定具有相对的意义。由式2-1-3知，一支车流如
果在途中某支点站无改编通过，则相对于它在该站改编便可以获得车小时节省。反过来。这支车流若在该站改编，相对于无改编通过便要增加车小时消耗。设想存在一个每一支车流都单开的编组方案，由于每一支车流在沿途支点站都无改编通过，该方案的改编车小时消耗
FF改?0。以它为基础，其它编组方案都与它比较，只要有直达车流在某站改编，该站改编
车小时消耗就大于0，所以式（2-3-7）右边实际上是相对于假想方案而增加的车小时消耗。
二、计算方法
绝对计算法的计算过程在专门设计的表格上进行。对每一个编组方案填制一张计算表格。表格分上、下两部分。
上半部分：行对应直达车流，方向上有几支直达车流就设几行；列对应沿途支点站。编组方案表达式写于右侧。若某支直达车流在某站改编，则在相应的格子内填记该直达车流量，否则填“0”，表示无改编通过。
下半部分：第1行是各支点站的改编车数第2行是各支点站的改编车小时消耗NtNj改（
j?G），最右端的格子内填记j?G?Nj改。
jj改节，最右端的格子内填写j?G?NFjj改节t。第3行填An?1n-1kTkn-1集nn?1站（是方向上支点站数）编发的直达列流支数，最右端的格子内填记。以下
各行类推，直至A2站。最右下端的表格内填记该编组方案的方案值耗。
图2-3-3画出了5个支点站方向的计算表格形式，采用的是图2-3-2提供的编组方案。上半部分表格中应填的数字可直接由方案表达式推出，不熟练者可参考图2-3-2所示的列流图。
A4N42N41A3000A2A1A00+1+2，3；N41N40N31N30N20N改N400N300+1，2；0，1；000000k4?1k3?1N41?N402?N41?N40?t节N301N30t节N41?N40?N3021?N41?N40?t节?N30t节N改t节4T集3T集2T集432T集?T集?T集2??N41?N40?t节1?N30t节k2?1图2-3-3 5个支点站的绝对计算法计算表格形式
分析编组方案的构成，我们发现，有些方案与其他方案相比是显然不利的，因而不用具体计算出方案值即可将其排除在外。产生显然不利方案的情况有两种：
（1）当远程车流与短程车流合并时，额外增加改编作业次数； （2）当远程车流与短程车流合并时，虽改编次数不变，但在节值较大的支点站改编。 [例2-3-1] 由式（2-3-2），4个支点站的线路方向共有10个编组方案，它们的方案特征及对应的列流图如图2-3-4所示。
分析这10个方案，不难发现，方案⑨是显然不利方案，因为与方案⑧相比，
tN30在A221t?t节节站徒然增加一次改编作业。另外，方案③与方案④比较，如果，则方案④是显然不
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