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沪科版九年级数学上册第二十二章 专题训练 相似三角形的五种基本模型

教师详解详析

ADDEDE

1．[解析] C ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝.又∵BD＝2AD，DE＝5，∴ABBCBC＝

AD1

＝，∴BC＝15.故选C. 3AD3

2．解：(1)证明：∵DC∥AB，

∴△ABF∽△ECF.

(2)∵AD＝BC，AD＝5 cm，AB＝8 cm，CF＝2 cm，∴BF＝3 cm. 由(1)知△ABF∽△ECF，∴

ABBF8316

＝，即＝.∴CE＝ cm. CECFCE23

3．[全品导学号：80402192]

解：(1)证明：∵ED∥BC， AEDE

∴△ADE∽△ABC，∴＝. ACBC∵BE平分∠ABC，∴∠DBE＝∠EBC. ∵ED∥BC，∴∠DEB＝∠EBC. ∴∠DBE＝∠DEB，∴DE＝BD. ∴

AEBD

＝，即AE·BC＝BD·AC. ACBC

(2)设h△ADE表示△ADE中DE边上的高， h△BDE表示△BDE中DE边上的高， h△ABC表示△ABC中BC边上的高． S△ADE3

∵S△ADE＝3，S△BDE＝2，∴＝，

S△BDE2∴

h△ADE3

＝. h△ABC5

DEh△ADE3

∵△ADE∽△ABC，∴＝＝. BCh△ABC5∵DE＝6，∴BC＝10.

CEDE

4．证明：∵CE·AE＝BE·DE，∴＝. BEAE

又∵∠AEB＝∠DEC，∴△ABE∽△DCE. 5．解：△ADE∽△ACB，△FCE∽△FDB. 答案不唯一，如对△ADE∽△ACB进行证明：

∵∠BDE＋∠BCE＝180°，∠BDE＋∠ADE＝180°， ∴∠ADE＝∠BCE，即∠ADE＝∠ACB. 又∵∠DAE＝∠CAB，∴△ADE∽△ACB.

6．解：(1)△ACD∽△ABC，△CDB∽△ACB，△ACD∽△CBD. (2)答案不唯一，如选择△ACD∽△ABC.理由： ∵∠A＋∠B＝90°，∠A＋∠ACD＝90°，

∴∠ACD＝∠B.

又∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC.

7．解：(答案不唯一)△ABE∽△DAE，△DAE∽△DCA.

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沪科版九年级数学上册第二十二章 专题训练 相似三角形的五种基本模型

对△ABE∽△DAE进行证明：

∵△BAC，△AGF为等腰直角三角形，

∴∠B＝45°，∠GAF＝45°，∴∠EAD＝∠EBA， 又∵∠AED＝∠BEA，∴△ABE∽△DAE. 8．[答案] ①③④

[解析] 在△ABC与△AEF中， ∵AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝EF， ∴△ABC≌△AEF，

∴∠EAF＝∠BAC，AF＝AC，∴∠AFC＝∠C；

由∠B＝∠E，∠ADE＝∠FDB，可知△ADE∽△FDB；

由于∠EAF＝∠BAC，∴∠EAD＝∠CAF.由△ADE∽△FDB可得∠EAD＝∠BFD，∴∠BFD＝∠CAF.综上可知，①③④正确．

9．解：(1)证明：∵DE∥AB，∴△DGC∽△AFC，

∴

CDCG

＝，∴CD·CF＝CG·CA. CACF

(2)证明：∵DE∥AB，

∴△DGC∽△AFC，△CGE∽△CFB， ∴

DGCGEGCGDGEG＝，＝，∴＝. AFCFBFCFAFBF

∵F是AB的中点， ∴AF＝BF，∴DG＝EG.

(3)在题图①中，∵DE∥AB， CGCE

∴△CGE∽△CFB，∴＝. CFCB

∵△CD1E1是由△CDE绕点C逆时针旋转得到的，∴△CDE≌△CD1E1， ∴CG＝CG1，CE＝CE1，∴

CG1CE1

＝. CFCB

又∵∠FCG1＝∠BCE1，∴△FCG1∽△BCE1， ∴

G1FCF

＝. E1BCB

∵∠ABC＝30°，∠ACB＝90°，F是AB的中点， 1CB3CB

∴CF＝AB，＝，∴＝3，

2AB2CF∴

G1FCF3＝＝. E1BCB3

10．[解析] D 在Rt△ABC中，AB＝AC＝3，∴∠B＝∠C＝45°，BC＝2AB＝3 2.又∵BD＝2CD，∴BD＝2 2，CD＝2.∵∠CDF＋∠BDE＝∠BED＋∠BDE＝135°，∴∠CDCF2y4

CDF＝∠BED，∴△CDF∽△BED，∴＝，即＝，则y＝.又∵点E，F分别在

BEBDx2 2x

AB，AC上运动，∴x的取值范围为0＜x≤3，函数值y的取值范围为0＜y≤3，故选D.

11．证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BEF＋∠BFE＝90°. ∵∠EFG＝90°，∴∠BFE＋∠CFG＝90°， ∴∠BEF＝∠CFG，∴△EBF∽△FCG.

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沪科版九年级数学上册第二十二章 专题训练 相似三角形的五种基本模型

12．解：(1)证明：∵BD⊥BE，A，B，C三点共线， ∴∠ABD＋∠CBE＝90°.

∵∠C＝90°，∴∠CBE＋∠E＝90°， ∴∠ABD＝∠E.

又∵∠A＝∠C，AD＝BC， ∴△DAB≌△BCE(AAS)，

∴AB＝CE，∴AC＝BC＋AB＝AD＋CE. (2)如图，过点Q作QF⊥BC于点F，

则△BFQ∽△BCE， ∴即

BFQF＝， BCCEBFQF＝， 35

5∴QF＝BF.

3∵DP⊥PQ，

∴∠APD＋∠FPQ＝180°－90°＝90°. ∵∠FPQ＋∠PQF＝180°－90°＝90°， ∴∠APD＝∠PQF.

又∵∠A＝∠PFQ＝90°， ADAP

∴△ADP∽△FPQ，∴＝，

PFQF即

3APAP

＝＝，

5－AP＋BFQF5

BF3

∴5AP－AP2＋AP·BF＝5BF， 整理得(AP－BF)(AP－5)＝0. ∵点P与A，B两点不重合，

∴AP≠5，∴AP＝BF，∴PF＝AB＝5. DPADDP3

由△ADP∽△FPQ，得＝，∴＝. PQPFPQ5

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