(浙江专用)2019高考数学二轮复习 专题三 数列与不等式 第4讲 不等式学案

规划很好卡卡看法第4讲 不等式

[考情考向分析] 1.利用不等式性质比较大小、不等式的求解、利用基本不等式求最值、线性规划、绝对值不等式的应用问题是高考的热点，主要以选择题、填空题为主.2.一元二次不等式常与函数、数列结合考查一元二次不等式的解法和参数的取值范围.3.在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围问题或在解决导数或数列问题时常利用不等式进行求解，难度较大．

热点一 基本不等式

利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法则是：(1)如果x>0，y>0，xy＝p(定值)，当x＝y时，x＋y有最小值2p(简记为：积定，和有最小值)；(2)如果x>0，y>0，x＋y＝s(定12

值)，当x＝y时，xy有最大值s(简记为：和定，积有最大值)．

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2

例1 (1)(2018·浙江省金丽衢十二校联考)设a>b>0，当＋取得最小值c时，函数

2b?a－b?

a2

f(x)＝|x－a|＋|x－b|＋|x－c|的最小值为( )

A．3 B．22 C．5 D．42 答案 A

2[b＋?a－b?]2

解析 ＋＝＋

2b?a－b?2b?a－b?≥2b(a－b)＋2

≥2b?a－b?

2b?a－b?·

2

＝4，

b?a－b?

a2

2

当且仅当a＝2b＝2时，上面不等式中两个等号同时成立，

1

规划很好卡卡看法2

所以＋的最小值为4，此时a＝2，b＝1，c＝4，

2b?a－b?则f(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－4| 7－3x，x<1，??5－x，1≤x≤2，＝?x＋1，24，

a2

所以当x＝2时，函数f(x)取得最小值f(2)＝5－2＝3，故选A.

(2)(2018·诸暨市高考适应性考试)已知a，b为正实数，且(a＋b)(a＋2b)＋a＋b＝9，则3a＋4b的最小值为________． 答案 62－1

解析 由(a＋b)(a＋2b)＋a＋b＝9，得a＋b＝18

＋(a＋2b＋1)－1≥2

a＋2b＋1

9

，则3a＋4b＝2(a＋b)＋a＋2b＝

a＋2b＋1

1818

×?a＋2b＋1?－1＝62－1，当且仅当＝a＋2b＋1a＋2b＋1

a＋2b＋1>0时，等号成立，所以3a＋4b的最小值为62－1.

思维升华 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号成立的条件)的条件，否则会出现错误．

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跟踪演练1 (1)设x>0，y>0，若xlg 2，lg2，ylg 2成等差数列，则＋的最小值为( )

xyA．8 B．9 C．12 D．16 答案 D

解析 ∵xlg 2，lg2，ylg 2成等差数列， ∴2lg2＝(x＋y)lg 2， ∴x＋y＝1，

19y9x?19?∴＋＝(x＋y)?＋?＝10＋＋

xy?xy?

xy≥10＋2

y9x·＝10＋6＝16， xy13

当且仅当x＝，y＝时取等号，

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故＋的最小值为16，故选D.

xy→

(2) 已知点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上运动，且AB＝(2，2)，设|CE|＝x，

2

规划很好卡卡看法→→→

|CF|＝y，若|AF－AE|＝|AB|，则x＋y的最大值为( ) A．2 B．4 C．22 D．42 答案 C

→→→→

解析 ∵|AB|＝2＋2＝2，|AF－AE|＝|AB|， →→→22又|AF－AE|＝|EF|＝x＋y＝2, ∴x＋y＝4，

∵(x＋y)＝x＋y＋2xy≤2(x＋y)＝8， 当且仅当x＝y时取等号，

∴x＋y≤22，即x＋y的最大值为22，故选C.

热点二 简单的线性规划问题

解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．

2

2

2

2

2

2

2

x－y≥0，??

例2 (1)(2018·浙江)若x，y满足约束条件?2x＋y≤6，

??x＋y≥2，

________，最大值是________． 答案 －2 8

则z＝x＋3y的最小值是

x－y≥0，??

解析 由?2x＋y≤6

??x＋y≥2

，画出可行域如图阴影部分所示(含边界)．

??2x＋y＝6，

由???x＋y＝2，

由?

?x－y＝0，?

??2x＋y＝6，

解得A(4，－2)，

解得B(2,2)，

3

规划很好卡卡看法1

将目标函数y＝－x平移可知，

3

当目标函数的图象经过A(4，－2)时，zmin＝4＋3×(－2)＝－2； 当目标函数的图象经过B(2,2)时，zmax＝2＋3×2＝8.

??－x＋y<1，

(2)(2018·浙江省重点中学联考)若实数x，y满足?

??y≥|2x－1|，

则x＋y的取值范围是

22

( ) 1??A.?，13?

?2?C.?

1??B.?，13?

?4?

?5?

，13? ?5?

?1?D.?，13?

?5?

答案 D

解析 在平面直角坐标系内作出满足约束条件的平面区域，如图所示的阴影部分，其中不含边界线段NP，设z＝x＋y，求z＝x＋y的取值范围，即求图中阴影部分内的点到原点的距离的平方的取值范围．

2

2

2

2

由图可知，作OH⊥MN于点H，

?1?由N(0,1)，M?，0?，

?2?

得OH＝

OM·ON5

＝， MN5

1

∴zmin＝.

5

又∵OP＝2＋3＝13，但点P不在图中阴影部分内， ∴z＝x＋y取不到13，

2

2

2

2

2

?1?22

∴x＋y的取值范围是?，13?，故选D.

?5?

思维升华 (1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．

(2)一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得．

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