高中数学（人教版必修五）教师用书：第一章+§1.1 正弦定理和余弦定理+1.1.1（一）+Word版含答案

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1.1.1 正弦定理(一)

学习目标 1.掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．

知识点一 正弦定理的推导

思考1 如图，在Rt△ABC中，、、各自等于什么？

sinAsinBsinCabc

答案

＝＝＝c. sinAsinBsinC＝＝还成立吗？课本是如何说明的？ sinAsinBsinCabc思考2 在一般的△ABC中，答案 在一般的△ABC中，＝asinB来证明．

abc仍然成立，课本采用边AB上的高CD＝bsinAsinAsinBsinC＝＝

abc梳理 任意△ABC中，都有＝＝，证明方法除课本提供的方法外，还可借助三

sinAsinBsinC角形面积公式，外接圆或向量来证明． 知识点二 正弦定理的呈现形式 1.

＝＝＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径)； sinAsinBsinCabcabc

2．a＝

bsinAcsinA＝＝2RsinA； sinBsinCabc3．sinA＝，sinB＝，sinC＝.

2R2R2R知识点三 解三角形

一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．

类型一 定理证明

例1 在钝角△ABC中，证明正弦定理．

证明 如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，D是BA延长线上一点，

根据正弦函数的定义知：

CDCD＝sin∠CAD＝sin(180°－A)＝sinA，＝sinB. ba∴CD＝bsinA＝asinB．∴

.

sinAsinBa＝b同理，＝.故＝＝. sinBsinCsinAsinBsinC反思与感悟 (1)本例用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固．

(2)要证＝，只需证asinB＝bsinA，而asinB，bsinA都对应CD.初看是神来之笔，

sinAsinB仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力． 跟踪训练1 如图，锐角△ABC的外接圆O半径为R，证明＝2R.

sinAbcabcaba

证明 连接BO并延长，交外接圆于点A′，连接A′C， 则圆周角∠A′＝∠A.

∵A′B为直径，长度为2R， ∴∠A′CB＝90°， ∴sinA′＝

BCa＝， A′B2Ra∴sinA＝，即＝2R.

2RsinA类型二 用正弦定理解三角形

例2 在△ABC中，已知A＝32.0°，B＝81.8°，a＝42.9cm，解三角形．

解 根据三角形内角和定理，C＝180°－(A＋B)＝180°－(32.0°＋81.8°)＝66.2°. 根据正弦定理，得b＝根据正弦定理，得c＝

aasinB42.9sin81.8°

＝≈80.1(cm)； sinAsin32.0°asinC42.9sin66.2°

＝≈74.1(cm)． sinAsin32.0°

abbcac反思与感悟 (1)正弦定理实际上是三个等式：＝，＝，＝，每

sinAsinBsinBsinCsinAsinC个等式涉及四个元素，

所以只要知道其中的三个就可以求另外一个． (2)具体地说，以下两种情形适用正弦定理： ①已知三角形的任意两角与一边；

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角．

跟踪训练2 在△ABC中，已知a＝18，B＝60°，C＝75°，求b的值． 解 根据三角形内角和定理，

A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.

根据正弦定理，得b＝类型三 边角互化 命题角度1 化简证明问题

例3 在任意△ABC中，求证：a(sinB－sinC)＋b(sinC－sinA)＋c(sinA－sinB)＝0. 证明 由正弦定理，令a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC，k>0.代入得：

左边＝k(sinAsinB－sinAsinC＋sinBsinC－sinBsinA＋sinCsinA－sinCsinB)＝0＝右边， 所以等式成立．

命题角度2 运算求解问题

asinB18sin60°

＝＝96. sinAsin45°

π

例4 在△ABC中，A＝，BC＝3，求△ABC周长的最大值．

3解 设AB＝c，BC＝a，CA＝b.

abc3

由正弦定理，得＝＝＝＝23.

sinAsinBsinCπ

sin

3

∴b＝23sinB，c＝23sinC，

a＋b＋c＝3＋23sinB＋23sinC

＝3＋23sinB＋23sin?＝3＋23sinB＋23?

?2π－B?

??3?

1?3?cosB＋sinB?

2?2?

?π?＝3＋33sinB＋3cosB＝3＋6sin?B＋?，

6??

π

∴当B＝时，△ABC的周长有最大值9.

3

反思与感悟 利用＝＝＝2R或正弦定理的变形公式a＝ksinA，b＝ksinB，csinAsinBsinC＝ksinC(k>0)能够使三角形边与角的关系相互转化．

跟踪训练3 在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若A∶B∶C＝1∶2∶3，求a∶

abcb∶c的值．

解 ∵A＋B＋C＝π，A∶B∶C＝1∶2∶3， πππ∴A＝，B＝，C＝，

63213

∴sinA＝，sinB＝，sinC＝1.

22设

＝＝＝k(k>0)，则 sinAsinBsinC2

2

abck3

a＝ksinA＝，b＝ksinB＝k，c＝ksinC＝k，

13

∴a∶b∶c＝∶∶1＝1∶3∶2.

22

1.在△ABC中，一定成立的等式是( ) A．asinA＝bsinB C．asinB＝bsinA

B．acosA＝bcosB D．acosB＝bcosA