山东省济宁市高三数学一轮复习 专项训练 三角函数(2)（含解析）

三角恒等变换

113π

1、已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，

7142(1)求tan 2α的值； (2)求β.

1π43

解 (1)∵cos α＝，0<α<，∴sin α＝，

727∴tan α＝43，

2tan α2×4383

∴tan 2α＝＝＝－. 2

1－tanα1－4847ππ

(2)∵0<β<α<，∴0<α－β<，

2233

∴sin(α－β)＝，

14∴cos β＝cos[α－(α－β)]

＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) 11343331＝×＋×＝. 7147142π∴β＝.

3

1???π??π?2

2、已知f(x)＝?1＋sinx－2sin?x＋?·sin?x－?. ?4?4??tan x???(1)若tan α＝2，求f(α)的值； (2)若x∈?

?π，π?，求f(x)的取值范围．

??122?

2

π??x＋解 (1)f(x)＝(sinx＋sin xcos x)＋2sin??· 4??

?π?cos?x＋?

4??

π?1－cos 2x1?＝＋sin 2x＋sin?2x＋? 2?22?11

＝＋(sin 2x－cos 2x)＋cos 2x 2211＝(sin 2x＋cos 2x)＋. 22

2sin αcos α2tan α4

由tan α＝2，得sin 2α＝2＝2＝. 2sinα＋cosαtanα＋15

222cosα－sinα1－tanα3

cos 2α＝2＝＝－. 22

sinα＋cosα1＋tanα5

113

所以f(α)＝(sin 2α＋cos 2α)＋＝.

225

11

(2)由(1)得f(x)＝(sin 2x＋cos 2x)＋

22＝

π?12?

sin?2x＋?＋.

4?22?

由x∈?

?π，π?，得2x＋π∈?5π，5π?. ??4?4?12?122??

π?22＋1?2x＋∴－≤sin?≤1，∴0≤f(x)≤， ?4?22?所以f(x)的取值范围是?0，

?

?2＋1?

?. 2?

?π?3、已知函数f(x)＝4cos x·sin?x＋?－1.

6??

(1)求f(x)的最小正周期；

?ππ?(2)求f(x)在区间?－，?上的最大值和最小值．

?64??π?解 (1)因为f(x)＝4cos xsin?x＋?－1

6??

＝4cos x?

1?3?

sin x＋cos x?－1

2?2?

2

＝3sin 2x＋2cosx－1＝3sin 2x＋cos 2x π??＝2sin?2x＋?，

6??

所以f(x)的最小正周期为π.

ππππ2π

(2)因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤. 64663ππ

于是，当2x＋＝，

62

π

即x＝时，f(x)取得最大值2；

6

πππ

当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－1.

666

π?4π???4、设α为锐角，若cos?α＋?＝，则sin?2α＋?的值为________．

6?512???π?4?解析 ∵α为锐角且cos?α＋?＝， 6?5?π?π2π?∴α＋∈?，?，

3?6?6

π?3?∴sin?α＋?＝. 6?5?

π?π?π????∴sin?2α＋?＝sin?2?α＋?－?

6?4?12????π?π?ππ??＝sin 2?α＋?cos －cos 2?α＋?sin

6?6?44??π??π?π??2??2?＝2sin?α＋?cos?α＋?－?2cos?α＋?－1? 6??6?2?6????342??4?2?

＝2××－?2×??－1?

552??5??＝

12272172－＝. 255050

172

50

答案

11?π?5、已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈?0，?，则cos(α－β)的值为________．

2?33?1?π?解析 ∵cos α＝，α∈?0，?，

2?3?

22427

∴sin α＝，∴sin 2α＝，cos 2α＝－.

399

122

又cos(α＋β)＝－，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝.

33∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)] ＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)

?7??1?42×22＝23. ＝?－?×?－?＋

327?9??3?9

答案

23

27

6．计算cos 42°cos 18°－cos 48°sin 18°的结果等于( )． 1323A. B. C. D. 2322

解析 原式＝sin 48°cos 18°－cos 48°sin 18° 1＝sin(48°－18°)＝sin 30°＝.

2答案 A 7.已知sin?

?π＋α?＝1，则cos(π＋2α)的值为( )．

?3

?2?

7722A．－ B. C. D．－

99931?π?解析 由题意，得sin?＋α?＝cos α＝.

3?2?

722

所以cos(π＋2α)＝－cos 2α＝－(2cosα－1)＝1－2cosα＝.

9答案 B

?π?3

8．已知cos?－x?＝，则sin 2x＝( )．

?4?5

187716

A. B. C．－ D．－ 25252525解析 因为sin 2x＝cos?7－1＝－.

25答案 C

3?4??π?9．已知α∈?π，π?，且cos α＝－，则tan?－α?等于( )． 2?5??4?11

A．7 B. C．－ D．－7

77

3?433?解析 因α∈?π，π?，且cos α＝－，所以sin α＜0，即sin α＝－，所以tan α＝.所

2?554?3

1－

?π?1－tan α＝4＝1. 以tan?－α?＝

37?4?1＋tan α1＋4答案 B

π?1πsin 2α－2cosα?α＋10．已知tan?＝－，且＜α＜π，则等于( )． ?4?22π???sin?α－?4??253525310

A. B．－ C．－ D．－

510510

22

π?sin 2α－2cosα2sin αcos α－2cosα1?解析 ＝＝22cos α，由tan?α＋?＝－，得4?π?2?2?α－sin??sin α－cos α4??2

2

?π－2x?＝cos 2?π－x?＝2cos2?π－x?－1，所以sin 2x＝2×?3?2－1＝18

??4??4??5?25?2???????

tan α＋11π

＝－，解得tan α＝－3，因为＜α＜π，所以解得cos α＝－

1－tan α22所以原式＝22cos α＝22×?－

10

＝－，

tanα＋110

21

?

?2510?

?＝－5. 10?