1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一) Word版含答案 ]

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答案 3

π2π

解析 ∵f(x)＝sin x的周期T＝＝6.

3π

3∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 013)

＝335[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＋f(2 011)＋f(2 012)＋f(2 013) π245

sin ＋sin π＋sin π＋sin π＋sin π＋sin 2π? ＝335?333?3?＋f(335×6＋1)＋f(335×6＋2)＋f(335×6＋3) ＝335×0＋f(1)＋f(2)＋f(3) π2

＝sin ＋sin π＋sin π＝3. 33

π5

0，?时，f(x)＝1－sin x，求当x∈?π，3π?时，11．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈??2??2?f(x)的解析式．

5π

π，3π?时，3π－x∈?0，?， 解 x∈??2??2?π

0，?时，f(x)＝1－sin x， ∵x∈??2?∴f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sin x. 又∵f(x)是以π为周期的偶函数， ∴f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，

5

π，3π?. ∴f(x)的解析式为f(x)＝1－sin x，x∈??2?1

12．已知函数f(x)＝log|sin x|.

2

(1)求其定义域和值域；(2)判断其奇偶性；

(3)判断其周期性，若是周期函数，求其最小正周期． 解 (1)∵|sin x|>0，∴sin x≠0，∴x≠kπ，k∈Z. ∴函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}． 1

∵0<|sin x|≤1，∴log|sin x|≥0，

2∴函数的值域为{y|y≥0}． (2)函数的定义域关于原点对称， 1

∵f(－x)＝log|sin(－x)|

21

＝log|sin x|＝f(x)，

2∴函数f(x)是偶函数．

9

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1

(3)∵f(x＋π)＝log|sin(x＋π)|

21

＝log|sin x|＝f(x)，

2

∴函数f(x)是周期函数，且最小正周期是π. 三、探究与拓展

13．已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝－1

(f(x)≠0)． f?x?

(1)求证：函数f(x)是周期函数． (2)若f(1)＝－5，求f(f(5))的值． (1)证明 ∵f(x＋2)＝－

1f?x?

， ∴f(x＋4)＝－1f?x＋2?

＝－1

＝f－1(x)，

f?x?∴f(x)是周期函数，4就是它的一个周期．(2)解 ∵4是f(x)的一个周期． ∴f(5)＝f(1)＝－5， ∴f(f(5))＝f(－5)＝f(－1) ＝－1－11f?－1＋2?＝f?1?＝5.

10