1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一) Word版含答案 ]

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反思与感悟 判断函数奇偶性，要先判断函数的定义域是否关于原点对称，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的前提条件，然后再判断f(－x)与f(x)之间的关系． 跟踪训练3 判断下列函数的奇偶性： 3

π＋2x?＋x2sin x； (1)f(x)＝cos??2?(2)f(x)＝1－2cos x＋2cos x－1. 解 (1)f(x)＝sin 2x＋x2sin x，

又∵x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x) ＝－sin 2x－x2sin x＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数．

??1－2cos x≥0，1

(2)由?得cos x＝.

2?2cos x－1≥0，?

π

∴f(x)＝0，x＝2kπ±，k∈Z.

3∴f(x)既是奇函数又是偶函数．

π

1．函数f(x)＝cos(2x＋)的最小正周期是( )

4π

A. B．π 2

C．2π D．4π 答案 B

2π2π

解析 最小正周期为T＝＝＝π.故选B.

ω2π

2．下列函数中，周期为的是( )

2x

A．y＝sin B．y＝sin 2x

2x

C．y＝cos D．y＝cos(－4x)

4答案 D

2ππ

解析 T＝＝.

|－4|2

3．已知f(x)是R上的奇函数，且f(1)＝2，f(x＋3)＝f(x)，则f(8)＝________. 答案 －2

解析 ∵f(x＋3)＝f(x)，∴f(x)是周期函数，3就是它的一个周期，且f(－x)＝－f(x)． ∴f(8)＝f(2＋2×3)＝f(2)＝f(－1＋3) ＝f(－1)＝－f(1)＝－2.

4．判断函数f(x)＝lg(sin x＋1＋sin2x)的奇偶性．

5

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解 ∵当x∈R时，均有sin x＋1＋sin2x>0， 又∵f(－x)＝lg[sin(－x)＋1＋sin2?－x?] ＝lg(1＋sinx－sin x)＝lg＝lg(sin x＋1＋sin2x)1

－

2?1＋sin2x?－sin2x

1＋sin2x＋sin x

＝－lg(sin x＋1＋sin2x)， ∴f(－x)＝－f(x)． ∴f(x)为奇函数． [呈重点、现规律]

1．求函数的最小正周期的常用方法

(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(x＋T)＝f(x)成立的T.

(2)图象法，即作出y＝f(x)的图象，观察图象可求出T.如y＝|sin x|.

(3)结论法，一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A、ω、φ为常数，A≠0，ω>0，x∈R)的周2π期T＝.

ω

2．判断函数的奇偶性应遵从“定义域优先”原则，即先求定义域，看它是否关于原点对称． 一、基础过关

xπ?1．函数f(x)＝3sin??2－4?，x∈R的最小正周期为( ) π

A. B．π C．2π D．4π 2答案 D

ππ

ωx＋?的最小正周期为，其中ω>0，则ω等于( ) 2．函数f(x)＝sin?6??5A．5 B．10 C．15 D．20 答案 B

π

2x－?，x∈R，则f(x)是( ) 3．设函数f(x)＝sin?2??A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 π

C．最小正周期为的奇函数

2π

D．最小正周期为的偶函数

2答案 B

6

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ππ

2x－?＝－sin?－2x?＝－cos 2x， 解析 ∵sin?2???2?∴f(x)＝－cos 2x.

又f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos 2x＝f(x)， ∴f(x)是最小正周期为π的偶函数．

πππ

4．已知f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋m，对任意实数t都有f(＋t)＝f(－t)，且f()＝－3，则实数m

888的值等于( ) A．－1 B．±5

C．－5或－1 D．5或1 答案 C

πππππ

解析 由f(＋t)＝f(－t)知，函数f(x)关于x＝对称，故sin(ω×＋φ)＝1或sin(ω×＋φ)

88888＝－1.

π

当sin(ω×＋φ)＝1时，

8

π

由f()＝－3知2＋m＝－3，得m＝－5；

8π

当sin(ω×＋φ)＝－1时，

8

π

由f()＝－3知－2＋m＝－3，得m＝－1.

8

5．定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当π5π

－，0?时，f(x)＝sin x，则f?－?的值为( ) x∈??2??3?1133A．－ B. C．－ D.

2222答案 D

5πππ－?＝f??＝－f?－? 解析 f??3??3??3?ππ3－?＝sin ＝. ＝－sin??3?32

π

2x＋?的最小正周期为________． 6．函数y＝3sin?4??答案 π 2π

解析 T＝＝π.

2

7．判断下列函数的奇偶性． π

＋2x?cos(π＋x)； (1)f(x)＝cos??2?

7

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(2)f(x)＝1＋sin x＋1－sin x； esin x＋esin x

(3)f(x)＝sin x－sin x.

e－e

－

π?解 (1)x∈R，f(x)＝cos??2＋2x?cos(π＋x) ＝－sin 2x·(－cos x)＝sin 2xcos x. ∴f(－x)＝sin(－2x)cos(－x)＝－sin 2xcos x ＝－f(x)．

∴该函数是奇函数．

(2)对任意x∈R，－1≤sin x≤1， ∴1＋sin x≥0,1－sin x≥0.

∴f(x)＝1＋sin x＋1－sin x的定义域为R. ∵f(－x)＝1＋sin?－x?＋1－sin?－x? ＝1－sin x＋1＋sin x＝f(x)， ∴该函数是偶函数． (3)∵esin x－e

－sin x

≠0，∴sin x≠0，

∴x∈R且x≠kπ，k∈Z. ∴定义域关于原点对称．

esin?x?＋esin?x?esin x＋esin x

又∵f(－x)＝sin?－x?－sin?－x?＝－sin xsin x＝－f(x)，

e－ee－e

－

－

－

－

∴该函数是奇函数． 二、能力提升

8．下列函数中的奇函数的是( ) A．y＝－|sin x| B．y＝sin(－|x|) C．y＝sin |x| D．y＝xsin |x| 答案 D

解析 利用定义，显然y＝xsin |x|是奇函数．

1

9．若函数f(x)＝sin(x－φ)是偶函数，则φ的一个取值为( )

2πππ

A．2 010π B．－ C．－ D．－ 842答案 D

π1π1

解析 当φ＝－时，f(x)＝sin(x＋)＝cos x为偶函数，故选D.

2222π

10．设函数f(x)＝sin x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 013)＝________.

3

8