1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一) Word版含答案 ]

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1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)

明目标、知重点 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期.3.掌握函数y＝sin x，y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．

1．函数的周期性

(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．

(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

2．正弦函数、余弦函数的周期性

由sin(x＋2kπ)＝sin_x，cos(x＋2kπ)＝cos_x(k∈Z)知y＝sin x与y＝cos x都是周期函数，2kπ (k∈Z且k≠0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2π. 3．正弦函数、余弦函数的奇偶性

(1)正弦函数y＝sin x与余弦函数y＝cos x的定义域都是R，定义域关于原点对称． (2)由sin(－x)＝－sin_x知正弦函数y＝sin x是R上的奇函数，它的图象关于原点对称． (3)由cos(－x)＝cos_x知余弦函数y＝cos x是R上的偶函数，它的图象关于y轴对称． [情境导学] 自然界存在许多周而复始的现象，如地球自转和公转，物理学中的单摆运动和弹簧振动，圆周运动等．数学中从正弦函数和余弦函数的定义知，角α的终边每转一周又会与原来的终边重合，也具有周而复始的变化规律，为定量描述这种变化规律，需引入一个新的数学概念——函数周期性． 探究点一 周期函数的定义

思考1 观察正弦函数图象知，正弦曲线每相隔2π个单位重复出现其理论依据是什么？ 答 诱导公式sin(x＋2kπ)＝sin x(k∈Z)当自变量x的值增加2π的整数倍时，函数值重复出现．数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律．

思考2 设f(x)＝sin x，则sin(x＋2kπ)＝sin x可以怎样表示？把函数f(x)＝sin x称为周期函数，那么，一般地，如何定义周期函数呢？

答 f(x＋2kπ)＝f(x)(k∈Z)这就是说：当自变量x的值增加到x＋2kπ时，函数值重复出现． 一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，那么就把函数y＝f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期．

小结 为了突出函数的这个特性，我们把函数f(x)＝sin x称为周期函数，2kπ为这个函数的周期 (其中k∈Z且k≠0)．

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思考3 正弦函数y＝sin x的周期是否唯一？正弦函数y＝sin x的周期有哪些？

答 正弦函数y＝sin x的周期不止一个. ±2π，±4π，±6π，…都是正弦函数的周期，事实上，任何一个常数2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期． 探究点二 最小正周期

导引 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数， 则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期. 周期函数不一定都有最小正周期．如：f(x)＝C(C为常数，x∈R )，对于非零实数T都是它的周期， 而最小正周期不存在．

思考 我们知道±2π，±4π，±6π，…都是y＝sin x的周期，那么函数y＝sin x有最小正周期吗？若有，那么最小正周期T等于多少？

答 正弦函数y＝sin x有最小正周期，且最小正周期T＝2π.

小结 如果非零常数T是函数y＝f(x)的一个周期，那么kT(k∈Z且k≠0)都是函数y＝f(x)的周期．

例如，正弦函数y＝sin x和余弦函数y＝cos x的最小正周期都是2π，它们的所有周期可以表示为2kπ(k∈Z且k≠0)．

探究点三 函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝A·cos(ωx＋φ))(A>0，ω≠0)的周期 思考 求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期？ 答 由诱导公式一知：对任意x∈R，都有Asin[(ωx＋φ)＋2π]＝Asin(ωx＋φ)，

?x＋2π?＋φ?＝Asin(ωx＋φ)， 所以Asin?ω??ω??

2π

x＋?＝f(x)， 即f??ω?2π

所以f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)是周期函数，就是它的一个周期．

ω

2π2π

由于x至少要增加个单位，f(x)的函数值才会重复出现，因此，是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)

|ω||ω|的最小正周期．

2π

同理，函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)也是周期函数，最小正周期也是.

|ω|探究点四 正弦、余弦函数的奇偶性 导引 正弦曲线 余弦曲线

思考1 观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？

答 正弦函数y＝sin x的图象关于原点对称，余弦函数y＝cos x的图象关于y轴对称． 思考2 上述对称性反映出正弦、余弦函数分别具有什么性质？如何从理论上加以验证？ 答 正弦函数是R上的奇函数，余弦函数是R上的偶函数．根据诱导公式得，sin(－x)＝－sin x，cos(－x)＝cos x均对一切x∈R恒成立．

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例1 求下列三角函数的周期．

(1)y＝3cos x，x∈R；(2)y＝sin 2x，x∈R； 1π?(3)y＝2sin??2x－6?，x∈R. 解 (1)∵3cos(x＋2π)＝3cos x，

∴自变量x只要并且至少要增加到x＋2π， 函数y＝3cos x，x∈R的值才能重复出现， 所以，函数y＝3cos x，x∈R的周期是2π. (2)∵sin(2x＋2π)＝sin2(x＋π)＝sin 2x， ∴自变量x只要并且至少要增加到x＋π， 函数y＝sin 2x，x∈R的值才能重复出现， 所以，函数y＝sin 2x，x∈R的周期是π. 1π

?x＋4π?－? (3)∵2sin?6??2

1π1πx－＋2π?＝2sin?x－?， ＝2sin??26??26?∴自变量x只要并且至少要增加到x＋4π， 1π?函数y＝2sin??2x－6?，x∈R的值才能重复出现， 1π?所以，函数y＝2sin??2x－6?，x∈R的周期是4π.

2π

反思与感悟 对于形如函数y＝Asin(ωx＋φ)，ω≠0时的周期求法常直接利用T＝来求解，

|ω|对于y＝|Asin ωx|的周期情况常结合图象法来求解． 跟踪训练1 求下列函数的周期：

1π

－x＋?；(3)y＝|cos x|. (1)y＝cos 2x；(2)y＝sin??23?2π2π

解 (1)T＝＝π；(2)T＝＝4π；

2?－1?

?2?1

(3)T＝2π×＝π.

2

例2 定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当π5π

0，?时，f(x)＝sin x，求f??的值． x∈??2??3?解 ∵f(x)的最小正周期是π， 5π??5ππ

－2π?＝f?－? ∴f?＝f?3??3??3?∵f(x)是R上的偶函数，

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ππ5ππ33－?＝f??＝sin ＝.∴f??＝. ∴f??3??3??3?232

反思与感悟 解决此类问题关键是综合运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x的值转化到可求值区间内．

11

跟踪训练2 已知函数f(x)对于任意x∈R满足条件f(x＋3)＝，且f(1)＝，则f(2 014)等

2f?x?于( ) 1

A. B．2 2

C．2 013 D．2 014 答案 B

解析 因为f(x＋6)＝

11

＝f(x)，所以函数f(x)的周期为6，故f(2 014)＝f(4)＝＝2. f?x＋3?f?1?

例3 判断下列函数的奇偶性． 1π

－x＋?； (1)f(x)＝sin??22?(2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)； 1＋sin x－cos2x

(3)f(x)＝. 1＋sin x

1

解 (1)显然x∈R，f(x)＝cos x，

211

－x? ＝cos x＝f(x)， f(－x)＝cos??2?2∴f(x)是偶函数．

??1－sin x>0，

(2)由?得－1

?1＋sin x>0，?

π??解得定义域为?x|x∈R且x≠kπ＋2，k∈Z?.

?

?

∴f(x)的定义域关于原点对称． 又∵f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x) ∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)] ＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x)． ∴f(x)为奇函数．

(3)∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1， π

∴x∈R且x≠2kπ－，k∈Z.

2∵定义域不关于原点对称， ∴该函数是非奇非偶函数．

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