初中数学竞赛辅导资料(24)

初中数学竞赛辅导资料（24）

连续正整数的性质

甲内容提要

一.两个连续正整数

1.两个连续正整数一 定是互质的，其商是既约分数。

2.两个连续正整数的积是偶数，且个位数只能是0，2，6。3.两个连续正整数的和是奇数，差是1。

4.大于1的奇数都能写成两个连续正整数的和。例如3＝1＋2，79＝39＋40， 111＝55＋56。

二.计算连续正整数的个数 例如：不同的五位数有几个？这是计算连续正整数从10000到99999的个数，它是 99999－10000＋1＝90000（个）1. n位数的个数一般可表示为 9×10n-1(n为正整数，100＝1)例如一位正整数从1到9共9个（9×100），二位数从10到99共90个 （9×101）三位数从100到999共900个（9×102）……2.连续正整数从n 到m的个 数是 m－n+1 把它推广到连续奇数、连续偶数、除以模m有同余数的连续数的个数的计算，举例如下：3. 从13到49的连续奇数的个数是4.49－13＋1＝19248－14从13到49的连续偶数的个数是＋1＝18248－15从13到49能被3整除的正整数的个数是＋1＝12349－13从13到49的正整数中除以3余1的个数是＋1＝133你能从中找到计算规律吗？三.计算连续正整数的和1.n （n是正整数）2b?a?1 连续正整数从a到b的和 记作(a+b)21＋2＋3＋……＋n＝（1＋n） 把它推广到计算连续奇数、连续偶数、除以模m有同余数的和，举例如下：

2.11＋13＋15＋…＋55＝（11＋55）×个）

2355－11＝759 （∵从11到55有奇数＋1＝23

2215＝480 （∵从11到53正整数中除以3余2的23.11＋14＋17＋…＋53＝（11＋53）×数的个数共

53－11＋1＝15）3四. 计算由连续正整数连写的整数，各数位上的数字和

123456789各数位上的数字和是（0＋9）＋（1＋8）＋…＋（4＋5）

＝9×5＝45

1234…99100计算各数位上的数字和可分组为：（0，99），（1，98），（2，97）…（48，51），（49，50）共有50个18，加上100中的1

∴各数位上的数字和是18×50＋1＝901五. 连续正整数的积

从1开始的n个正整数的积1×2×3×…×n记作n！，读作n的阶乘n个连续正整数的积能被n！整除，

如11×12×13能被1×2×3整除；97×98×99×100能被4！整除；

a（a+1）(a+2)…(a+n)能被（n+1）！整除。n！含某因质数的个数。举例如下：

1×2×3×…×10的积中含质因数2的个数共8个

其中2，4，6，8，10都含质因数2 暂各计1个，共5个其中4＝22 含两个质因数2 增加了1个其中8＝23 含三个质因数2 再增加2个

1×2×3×…×130的积中含质因数5的个数的计算法5，10，15，…125，130 均含质因数5 暂各计1个，共26个其中25，50，75，100均含52有两个5 各加1个， 共4个

其中125＝53含三个5 再增加2个∴积中含质因数5的个数是32乙例题

例1. 写出和等于100的连续正整数

解：∵100＝2×50＝4×25＝5×20＝10×10 其中2个50和10个10都不能写成连续正整数而4个25：12＋13，11＋14，10＋15，9＋16

得第一组连续正整数9，10，11，12，13，14，15，16。5个20可由20，19＋21，18＋22得第二组连续正整数18，19，20，21，22。

例2. 一本书共1990页用0到9十个数码给每一页编号共要多少个数码？解：页数编码中，一位数1到9共9个

两位数10－99，共90个，用数码90×2＝180个

三位数100－999，共900个，用数码900×3＝2700个四位数1000－1990，共991个，用数码991×4＝3964个 ∴共用数码9＋180＋2700＋3964＝6853

例3. 用连续正整数1到100这100个数顺次连接成的正整数： 1234……99100。问：

①它是一个几位数？

②它的各位上的数字和是多少？

③ 如果从这个数中划去100个数字，使剩下的数尽可能地大，那么剩下的数的前十位

数是多少？

解： ①这个数的位数=9×1+90×2+3=192

②各位上的数字和=18×50+1=901(见上页第四点) ③划去100个数，从最高位开始并留下所有的9：

包括1――8，10――18，19中的1，20――28，29中的2，……，50到56这里共有8＋

1.2.1.2.①②

19＋19＋19＋19＋14＝98个，再划去57，58中的两个5， 剩下的数的前十位是9999978596。

例4. 算术平方根的整数部分等于11的连续正整数共有几个？ 解：∵121＝11，144＝12

∴算术平方根的整数部分等于11的正整数x是112≤x<122

;∴符合条件的连续正整数是121，122，123，…，143。共23个。

例5. 已知两个连续正整数的积等于由同一个数码组成的三位数的2倍， 求这两个连续正

整数。

解：设连续正整数为x,x+1,相同数码的三位数为100a+10a+a 根据题意，得x(x+1)=2(100a+10a+a) 即x(x+1)=222a （1） 把222分解质因数得 x(x+1)=2×3×37a（2） ∵连续正整数的积的个位数只能是0，2，6 且0＜a≤9

由（1）可知a可能是1，3，5，6，8 分别代入（2）只有6适合 x(x+1)=36×37

答所求的连续正整数是36和37

丙练习24

1. 除以3余2的两位数共有___个，三位数有____个，n位数有____个。 2. 从50到1000的正整数中有奇数___个，3的倍数___个。

3. 由连续正整数连写的正整数123…9991000是_____位数，它的各位上的数字和是_____。 4. 把由1开始的正整数 依次写下去，直写到第198位为止，123? ???198位那么这个数的末三位数是______，这个数的各位上的数字和是_____ 这个数除以9的余数是_____(1989年全国初中数学联赛题) 5. 已知a=111?11, b=999?99 ??????????1990个11990个9 那么①ab=______________ ②ab的各位上的数字和是___________(可用经验归纳法) 6. 计算连续正整数的平方和的个位数：

① 12+22+32+……+92和的个位数是_______ ② 12+22+32+……+192和的个位数是______ ③ 12+22+32+……+292和的个位数是______ ④ 12+22+32+……+392和的个位数是______

⑤ 12+22+32+……+1234567892和的个位数是＿＿＿＿＿＿

（1990全国初中数学联赛题)

7. 写出所有和能等于120的连续正整数(仿例1)它们共有三组：

____________，_________________，_____________________。 8. 连续正整数的积1×2×3×4×…×100

这积中含质因数5的个数有____，积的末尾的零连续____个。

9. 恰有35个连续正整数的算术平方根的整数部分相同这个相同的整数 是多少？

(1990年全国初中数学联赛题)

10. .设a,b,c是三个连续正整数且a2=14884,c2=15376,那么b2是( )

(A)15116 (B)15129 (C)15144 (D)15376 11. 计算：① 2+4+6+…+100=

②1+4+7+10+…+100= ③ +10+15+…+100=

12. 有11个正整数都是小于20，那么其中必有两个是互质数，这是为什么？

如果有(n+1)个正整数，它们都小于2n，那么必有两个是互质数，试说明理由。

13. 一串数1，4，7，10，…，697，700的规律是第一个数是1，以后的每一个数等于它

前面的一个数加，直到700为止。将这些数相乘，试求所得的积的尾部的零的个数。(1988年全国初中数学联赛题) 提 示：先求积中含质因数5的个数 丙练习24参考答案： 1. 30，300，3×10 n-1 2. 475个，317个 3. 2893，13501 4. 102，906，6 5. ①111?10888?89 ②1990×9 6. 5，0，5，0，5 ??????1989个1989个7. 39，40，41；22，23，24，25，26；1，2，3……15 8. 24，24 9. 17 10. （B） 11. ①2550，②1717，③1050 12.∵小于20的正整数中有10个奇数，与奇数连续的正偶数，它们必互质，把互质数放在同一个抽屉，设有10抽屉，11个正整数放入其中，至少有一个抽屉里放有两个。 这一串数是除以3余1的正整数，我们来计算含质因数5的个数： 能被5整除且除以3余1的正整数是10，25，40，……700，先各算1个 能被52整除且除以3余1的正整数是25，100，175，…700，各多算1个 能被53整除且除以3余1的正整数是250，625， 再各加1个， 能被54整除且除以3余1的正整数是625，再加1个，共含有60个5 答积的尾部共有零 60个 （上述可用式子表示：

5k?125k?1125k?1625k?1，，，的整数值） 3333