中考数学专题突破十：新定义问题(含答案)

专题突破(十) 新定义问题

1． 在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙O的反称点的定义如下：若在射线．．CP上存在一点P′，满足CP＋CP′＝2r，则称P′为点P关于⊙C的反称点，如图Z10－1为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图．

(1)当⊙O的半径为1时．

3

①分别判断点M(2，1)，N(，0)，T(1，3)关于⊙O的反称点是否存在，若存在，求其

2坐标；

②点P在直线y＝－x＋2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围．

(2)当⊙C的圆心在x轴上，且半径为1，直线y＝－

3

x＋2 3与x轴、y轴分别交于点3

A，B.若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围．

图Z10－1

2． 对某一个函数给出如下定义：若存在实数M>0，对于任意的函数值y，都满足－M≤y≤M，则称这个函数是有界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图Z10－2中的函数是有界函数，其边界值是1.

1

(1)分别判断函数y＝(x>0)和y＝x＋1(－4

x边界值；

(2)若函数y＝－x＋1(a≤x≤b，b>a)的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；

(3)将函数y＝x2(－1≤x≤m，m≥0)的图象向下平移m个单位长度，得到的函数的边界3

值是t，当m在什么范围时，满足≤t≤1?

4

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图Z10－2

3． 对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A，B，使得∠APB＝60°，则称P为⊙C的关联点．

11

已知点D(，)，E(0，－2)，F(2 3，0)．

22

(1)当⊙O的半径为1时，

①在点D，E，F中，⊙O的关联点是________；

②过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使∠GFO＝30°，若直线l上的点P(m，n)是⊙O的关联点，求m的取值范围；

(2)若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围．

图Z10－3

4． 在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)的“非常距离”，给出如下定义：

若|x1－x2|≥|y1－y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1－x2|； 若|x1－x2|＜|y1－y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1－y2|.

例如：点P1(1，2)，点P2(3，5)，因为|1－3|＜|2－5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2－5|＝3，也就是图Z10－4(a)中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值(点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点)．

1

(1)已知点A(－，0)，B为y轴上的一个动点．

2

①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标； ②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值． 3

(2)已知C是直线y＝x＋3上的一个动点，

4

①如图(b)，点D的坐标是(0，1)，求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标．

②如图(c)，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非

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常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标．

图Z10－4

1．模] b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．如函数y＝－x＋4，当x＝1时，y＝3；当x＝3时，y＝1，即当1≤x≤3时，有1≤y≤3，所以说函数y＝－x＋4是闭区间[1，3]上的“闭函数”．

2015

(1)反比例函数y＝是闭区间[1，2015]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；

x(2)若二次函数y＝x2－2x－k是闭区间[1，2]上的“闭函数”，求k的值；

(3)若一次函数y＝kx＋b(k≠0)是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式(用含m，n的代数式表示)．

2．模] 定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a.如：min{1，－2}＝－2，min{－1，2}＝－1.

2

(1)求min{x－1，－2}；

(2)已知min{x2－2x＋k，－3}＝－3，求实数k的取值范围；

(3)已知当－2≤x≤3时，min{x2－2x－15，m(x＋1)}＝x2－2x－15.直接写出实数m的取值范围．

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3．模] 如图Z10－5(a)，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，0)，B(－1，1)，C(1，0)，D(1，1)，记线段AB为T1，线段CD为T2，点P是坐标系内一点．给出如下定义：若1

存在过点P的直线l与T1，T2都有公共点，则称点P是T1－T2联络点．例如，点P(0，)

2是T1－T2联络点．

(1)以下各点中，________是T1－T2联络点(填出所有正确的序号)； ①(0，2)；②(－4，2)；③(3，2)．

(2)直接在图(a)中画出所有T1－T2联络点所组成的区域，用阴影部分表示．

(3)已知点M在y轴上，以M为圆心，r为半径画圆，⊙M上只有一个点为T1－T2联络点，

①若r＝1，求点M的纵坐标； ②求r的取值范围．

图Z10－5

4．一模] 如图Z10－6，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的顶点为M，直线y＝m与x轴平行，且与抛物线交于点A和点B，如果△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A、B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线的准蝶形，顶点M称为碟顶，线段AB的长称为碟宽．

图Z10－6

1

(1)抛物线y＝x2的碟宽为________，抛物线y＝ax2(a＞0)的碟宽为________．

2(2)如果抛物线y＝a(x－1)2－6a(a＞0)的碟宽为6，那么a＝________．

(3)将抛物线yn＝anx2＋bnx＋cn(an＞0)的准蝶形记为Fn(n＝1，2，3，…)，我们定义F1，1

F2，…，Fn为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比．如果Fn与Fn－1的相似比为，且2Fn的碟顶是Fn－1的碟宽的中点，现在将(2)中求得的抛物线记为y1，其对应的准蝶形记为F1.

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