2000年-2016年考研数学一历年真题完整版(Word版)

设函数f(x)在R上具有一阶连续导数,L是上半平面(y>0)内的有向分段光滑曲线,起点为(a,b),终点为(c,d).

记I?1x22[1?yf(xy)]dx?[yf(xy)?1]dy, 2?yy(1)证明曲线积分I与路径L无关.

(2)当ab?cd时,求I的值.

七、(本题满分7分)

x3n (1)验证函数y(x)??(???x???)满足微分方程y???y??y?ex.

n?0(3n)!?x3n(2)求幂级数y(x)??的和函数.

n?0(3n)!?

八、(本题满分7分)

设有一小山,取它的底面所在的平面为xoy面,其底部所占的区域为

D?{(x,y)|x2?y2?xy?75},小山的高度函数为h(x,y)?75?x2?y2?xy.

(1)设M(x0,y0)为区域D上一点,问h(x,y)在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为g(x0,y0),写出g(x0,y0)的表达式.

(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说要在D的边界线上找出使(1)中g(x,y)达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.

九、(本题满分6分)

已知四阶方阵A?(α1,α2,α3,α4), α1,α2,α3,α4均为四维列向量,其中α2,α3,α4线性无关,α1?2α2?α3.若β?α1?α2?α3?α4,求线性方程组Ax?β的通解.

十、(本题满分8分) 设A,B为同阶方阵,

(1)若A,B相似,证明A,B的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当A,B为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.

十一、(本题满分7分)

设维随机变量X的概率密度为

1xcos 0?x?x f(x)? 220 其它对X独立地重复观察4次,用Y表示观察值大于

十二、(本题满分7分) 设总体X的概率分布为

?2的次数,求Y的数学期望. 3X P 其中?(0???0 1 2 3 1?2? ?2 2?(1??) ?2 1)是未知参数,利用总体X的如下样本值 23,1,3,0,3,1,2,3.

求?的矩估计和最大似然估计值.

2003年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)

1(1)lim(cosx)ln(1?x) = .

x?02(2)曲面z?x2?y2与平面2x?4y?z?0平行的切平面的方程是 . (3)设x?2?an?0?ncosnx(???x??),则a2= .

(4)从R的基α1???,α2??2?1??0??1??1??1?到基β?,β????2??的过渡矩阵为 . 1?1???1??2?0?x?y?16x ,则其它0(5)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)?

P{X?Y?1}? .

(6)已知一批零件的长度X(单位:cm)服从正态分布N(?,1),从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40 (cm),则?的置信度为0.95的置信区间是 .

(注:标准正态分布函数值?(1.96)?0.975,?(1.645)?0.95.)

二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设函数f(x)在(??,??)内连续,其导函数的图形如图所示,则f(x)有

(A)一个极小值点和两个极大值点

(B)两个极小值点和一个极大值点

(C)两个极小值点和两个极大值点(D)三个极小值点和一个极大值点

(2)设{an},{bn},{cn}均为非负数列,且liman?0,limbn?1,limcn??,则必有

n??n??n??(A)an?bn对任意n成立 (C)极限limancn不存在

n??

(B)bn?cn对任意n成立 (D)极限limbncn不存在

n??

(3)已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续,且limx?0,y?0f(x,y)?xy?1,则 222(x?y)(A)点(0,0)不是f(x,y)的极值点 (B)点(0,0)是f(x,y)的极大值点 (C)点(0,0)是f(x,y)的极小值点

(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点 (4)设向量组I:α1,α2,?,αr可由向量组II:β1,β2,?,βs线性表示,则 (A)当r?s时,向量组II必线性相关 (C)当r?s时,向量组I必线性相关

(B)当r?s时,向量组II必线性相关 (D)当r?s时,向量组I必线性相关

(5)设有齐次线性方程组Ax?0和Bx?0,其中A,B均为m?n矩阵,现有4个命题: ① 若Ax?0的解均是Bx?0的解,则秩(A)?秩(B) ② 若秩(A)?秩(B),则Ax?0的解均是Bx?0的解 ③ 若Ax?0与Bx?0同解,则秩(A)?秩(B) ④ 若秩(A)?秩(B), 则Ax?0与Bx?0同解 以上命题中正确的是 (A)①② (C)②④

(B)①③ (D)③④

(6)设随机变量X~t(n)(n?1),Y?(A)Y~?(n) (C)Y~F(n,1)

21,则 X2

(B)Y~?(n?1) (D)Y~F(1,n)

2

三、(本题满分10分)

过坐标原点作曲线y?lnx的切线,该切线与曲线y?lnx及x轴围成平面图形D. (1)求D的面积A.

(2)求D绕直线x?e旋转一周所得旋转体的体积V.

四、(本题满分12分)

?1?2x(?1)n将函数f(x)?arctan展开成x的幂级数,并求级数?的和.

1?2x2n?1n?0

五 、(本题满分10分)

已知平面区域D?{(x,y)0?x??,0?y??},L为D的正向边界.试证: