圆锥曲线的定点、定值问题

2019届二轮（理科数学） 专题五第三讲 第二课时 圆锥曲线的定点、定值、存在性问题 专题卷（全国通用）

1．(2018·云南师大附中质检)已知椭圆C的焦点在x轴上，离心率等于

25，且过点5

?1，25?.

5??

(1)求椭圆C的标准方程；

→→(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，若MA＝λ1AF，→→

MB＝λ2BF，求证：λ1＋λ2为定值．

解析：(1)设椭圆C的方程为 x2y2

＋＝1(a＞b＞0)， a2b2c25＝，?a5?则??25?

1?5???a＋b＝1，

222

∴a2＝5，b2＝1，

x22

∴椭圆C的标准方程为＋y＝1.

5

(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0) ， 又易知F点的坐标为(2,0)． 显然直线l存在斜率， 设直线l的斜率为 ，

则直线l的方程是y＝ (x－2)，将直线l的方程代入椭圆C的方程中，消去y并整理得(1＋5 2)x2－20 2x＋20 2－5＝0，

20k2－520k2

∴x1＋x2＝，xx＝. 1＋5k2121＋5k2x1x2→→→→

又∵MA＝λ1AF，MB＝λ2BF，将各点坐标代入得λ1＝，λ2＝，

2－x12－x2x1x2∴λ1＋λ2＝＋

2－x12－x2＝

2?x1＋x2?－2x1x2

4－2?x1＋x2?＋x1x2

＝

＝－10， 220k220k－54－2·＋

1＋5k21＋5k2?20k－20k－5?2???1＋5k21＋5k2?

22

即λ1＋λ2为定值．

2．(2018·贵阳一模)过抛物线C：y2＝4x的焦点F且斜率为 的直线l交抛物线C于A，B两点，且 AB ＝8.

(1)求l的方程；

(2)若A关于x轴的对称点为D，求证：直线BD恒过定点，并求出该点的坐标． 解析：(1)易知点F的坐标为(1,0)，则直线l的方程为y＝ (x－1)，代入抛物线方程y2

＝4x得 2x2－(2 2＋4)x＋ 2＝0，

由题意知 ≠0，且[－(2 2＋4) 2－4 2· 2＝16( 2＋1)＞0， 2k2＋4

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝2，x1x2＝1，

k由抛物线的定义知 AB ＝x1＋x2＋2＝8， 2k2＋4

∴2＝6，∴ 2＝1，即 ＝±1，

k∴直线l的方程为y＝±(x－1)．

y2＋y1y2＋y1(2)由抛物线的对称性知，D点的坐标为(x1，－y1)，直线BD的斜率 BD＝＝22x2－x1y2y1－44＝4

， y2－y1

∴直线BD的方程为y＋y1＝

4

(x－x1)， y2－y1

即(y2－y1)y＋y2y1－y21＝4x－4x1，

22∵y1＝4x1，y22＝4x2，x1x2＝1，∴(y1y2)＝16x1x2＝16，

即y1y2＝－4(y1，y2异号)，

∴直线BD的方程为4(x＋1)＋(y1－y2)y＝0， 恒过点(－1,0)．

13．(2018·南宁模拟)已知抛物线C：y2＝ax(a＞0)上一点P(t，)到焦点F的距离为2t.

2(1)求抛物线C的方程；

(2)抛物线C上一点A的纵坐标为1，过点Q(3，－1)的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点(均与点A不重合)，设直线AM，AN的斜率分别为 1， 2，求证： 1 2为定值．

a

解析：(1)由抛物线的定义可知 PF ＝t＋＝2t，则a＝4t，

4

11

由点P(t，)在抛物线上，得at＝，

24a1

∴a×＝，则a2＝1，

44由a＞0，得a＝1， ∴抛物线C的方程为y2＝x.

(2)∵点A在抛物线C上，且yA＝1， ∴xA＝1.

∴A(1,1)，设过点Q(3，－1)的直线的方程为x－3＝m(y＋1)， 即x＝my＋m＋3，

代入y2＝x得y2－my－m－3＝0.

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＋y2＝m，y1y2＝－m－3， y1－1y2－1

∴ 1 2＝·

x1－1x2－1＝

y1y2－?y1＋y2?＋1

my1y2＋m?m＋2??y1＋y2?＋?m＋2?221＝－，

2∴ 1 2为定值．

x2y2

4．(2018·福州四校联考)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1，F2，短

abb

轴的一个端点为P，△PF1F2内切圆的半径为，设过点F2的直线l被椭圆C截得的线段为

3RS，当l⊥x轴时， RS ＝3.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)在x轴上是否存在一点T，使得当l变化时，总有TS与TR所在直线关于x轴对称？若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

11bc1

解析：(1)由内切圆的性质，得×2c×b＝×(2a＋2c)×，得＝.

223a2x2y2b22b2

将x＝c代入2＋2＝1，得y＝±，所以＝3.

abaa又a2＝b2＋c2，所以a＝2，b＝3， x2y2

故椭圆C的标准方程为＋＝1.

43

(2)当直线l垂直于x轴时，显然x轴上任意一点T都满足TS与TR所在直线关于x轴对称．

当直线l不垂直于x轴时，假设存在T(t,0)满足条件，设l的方程为y＝ (x－1)，R(x1，y1)，S(x2，y2)．

??y＝k?x－1?，

联立方程，得?2得(3＋4 2)x2－8 2x＋4 2－12＝0， 2

?3x＋4y－12＝0，?

??

由根与系数的关系得?4k－12

xx＝??3＋4k

2

12

28k2x1＋x2＝，3＋4k2

①，其中Δ＞0恒成立，

由TS与TR所在直线关于x轴对称，得 TS＋ TR＝0(显然TS，TR的斜率存在)， 即

y1y2＋＝0 ②. x1－tx2－t

因为R，S两点在直线y＝ (x－1)上， 所以y1＝ (x1－1)，y2＝ (x2－1)，代入②得

k?x1－1??x2－t?＋k?x2－1??x1－t?k[2x1x2－?t＋1??x1＋x2?＋2t]

＝＝0，

?x1－t??x2－t??x1－t??x2－t?即2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0 ③，

8k2－24－?t＋1?8k2＋2t?3＋4k2?6t－24

将①代入③得＝＝0 ④，

3＋4k23＋4k2则t＝4，

综上所述，存在T(4,0)，使得当l变化时，总有TS与TR所在直线关于x轴对称．