2019年高考数学真题分类汇编专题18：数列(综合题)

2019年高考数学真题分类汇编 专题18：数列（综合题）

1.（2019?江苏）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”. （1）已知等比数列{an}?n?N?满足：a2a4?a5,a3?4a2?4a4?0，求证:数列{an}为

*“M－数列”；

（2）已知数列{bn}满足: b1?1,①求数列{bn}的通项公式；

②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn}?n?N? ，对任意正整数k ， 当k≤m*122??Snbnbn?1，其中Sn为数列{bn}的前n项和．

时，都有ck?bk?ck?1成立，求m的最大值．

【答案】 （1）解：设等比数列{an}的公比为q ， 所以a1≠0，q≠0. 由 因此数列

，得 为“M—数列”.

，所以 ，则

， ，得 ．

，

.

． ，解得

．

（2）解：①因为 由 由 当

得 ，得 时，由

整理得

所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{bn}的通项公式为bn=n ②由①知，bk=k ，

.

1

.

因为数列{cn}为“M–数列”，设公比为q ， 所以c1=1，q>0. 因为ck≤bk≤ck+1 ， 所以 当k=1时，有q≥1； 当k=2，3，…，m时，有 设f（x）= 令

，则

，得x=e.列表如下：

f（x） 因为 取

+ ，所以

，当k=1，2，3，4，5时，

也成立．

e 0 极大值 ． ，即

，

(e，+∞) – ． ．

，其中k=1，2，3，…，m.

x 经检验知

因此所求m的最大值不小于5．

若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q ， 且q≤6，从而q≥243，且q≤216， 所以q不存在.因此所求m的最大值小于6. 综上，所求m的最大值为5．

【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用，等比数列的通项公式，等差关系的确定

【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比数列的通项公式，用“M－数列”的定义证出数列{an}为“M－数列”。（2）①利用 与 的关系式结合已知条件得出数列

为等差数列，并利用等差数列通项公式求出数列

2

3

5

15

15

的通项

公式。②由①知，bk=k ， .因为数列{cn}为“M–数列”，设公比为q ，

，其中k=1，2，3，…，

所以c1=1，q>0，因为ck≤bk≤ck+1 ， 所以

m ， 再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，进而求出函数的最值，从而求出m的最大值。

2.（2019?上海）已知等差数列?an?的公差d??0,??，数列?bn?满足bn?sin?an?，集合S??x|x?bn,n?N?．

*（1）若a1?0,d?（2）若a1??22?，求集合S； 3，求d使得集合S恰好有两个元素；

（3）若集合S恰好有三个元素：bn?T?bn，T是不超过7的正整数，求 T的所有可能的值．

【答案】 （1）解： 等差数列 集合 当 集合 （2）解：

， ． ，数列

满足

，集合

恰好

．

的公差

，数列

满足

，

有两个元素，如图：

3

根据三角函数线，①等差数列 好有两个元素，此时

，

的终边落在 轴的正负半轴上时，集合 恰

② 终边落在 上，要使得集合 恰好有两个元素，可以使 ， 的终边关于 轴对称，如图

， ，

此时 综上，

， 或者

． 时，

，

，集合

，

，符合题意．

，或者

（3）解：①当 ②当

时，

，

等差数列 当 ③当

的公差 ，故

．

，

，故

．

， ，又

时满足条件，此时 时，

，因为

，

，或者

当 ④当 所以

时， 时，

， 或者

满足题意．

， ，

，故

．

4