2019年高考数学一轮复习：不等关系与不等式

定系数法求出x，y，再利用同向不等式的可加性求解．

类型四 比较大小

ππ(1)若角α，β满足－2<α<β<2，则2α－β的取值范围是________．

πππππ

解：因为－＜α＜β＜，所以－＜α＜，－＜β

22222

πππ

＜，－＜－β＜，而α＜β，所以－π＜α－β＜0，222

3ππ3ππ－，?.故填?－，?. 所以2α－β＝(α－β)＋α∈??22??22?

(2016·武汉模拟)已知a1≤a2，b1≥b2，则a1b1＋a2b2与a1b2＋a2b1的大小关系是________．

解：a1b1＋a2b2－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)(b1－b2)，因为a1≤a2，b1≥b2，所以a1－a2≤0，b1－b2≥0，于是(a1－a2)(b1－b2)≤0，故a1b1＋a2b2≤a1b2＋a2b1.故填a1b1＋a2b2≤a1b2＋a2b1.

【点拨】作差(商)比较法的步骤是：①作差(商)；②变形：配方、因式分解、通分、分母(分子)有理化等；③判断符号(判断商和“1”的大小关系)；④作出结论．

x

(2)(2016·云南模拟)若－1≤lg≤2，1≤lg(xy)≤4，

y

x2

则lg的取值范围是________．

y

x

解：由1≤lg(xy)≤4，－1≤lg≤2，

y

得1≤lgx＋lgy≤4，－1≤lgx－lgy≤2，

x213

则lg＝2lgx－lgy＝(lgx＋lgy)＋(lgx－lgy)，

y22

2x

所以－1≤lg≤5.故填[－1，5]．

y

已知a<0，－1

A．a>ab>ab2 B．ab2>ab>a C．ab>a>ab2 D．ab>ab2>a 解：由于每个式子中都有a，故先比较1，b，b2

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的大小．因为－1ab2>a.故选D.

1．(2016·宜昌模拟)设a，b，c∈R，且a>b，则( )

11

A．ac>bc B.＜

abC．a2>b2 D．a3>b3

解：A选项，当c<0时，ac0>b时，显然B不正确；C选项，当a＝1，b＝－2时，a2b时，有a3>b3，D正确．故选D.

2．(2015·浙江)设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解：若a＋b＞0，取a＝3，b＝－2，则ab＞0不成立；反之，若a＝－2，b＝－3，则a＋b＞0也不成立，因此“a＋b＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件．故选D.

3．(北京丰台区2017届高三上学期期末)已知a>b>0，则下列不等式一定成立的是( )

11

A．|a|<|b| B.>

ab

1?a?1?b?C.?2?＞?2? D．lna>lnb

111

解：取a＝2，b＝1，则2＝|a|>|b|＝1，＝<＝1，

2ab

?1?a＝?1?2＝1<1＝?1?1，lna＝ln2>0＝ln1＝lnb.故选D. ?2??2?42?2?

4．(2016·山东烟台期中检测)下列四个命题中，为

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1．理解不等关系的意义、实数运算的符号法则、不等式的性质，是解不等式和证明不等式的依据和基础．

2．一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此．在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．

3．不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后者一般是解不等式的理论基础．

4．利用几个不等式来确定某个代数式的范围时要注意：“同向(异向)不等式的两边可相加(相减)”这种变形不是等价变形，若多次使用，则有可能使取值范围扩大，解决这一问题的方法是：先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再一次性的运用这种变形，即可求得正确的待求整体的范围．

5．比较两个实数的大小，有作差法和作商法两种方法．一般多用作差法，注意当这两个数都是正数时，才可以用作商法．作差法是比较作差后的式子与“0”的大小关系；作商法是比较作商后的式子与“1”的大小关系．

6．对于实际问题中的不等量关系，还要注意实际问题对各个参变数的限制．

真命题的是( )

A．若a＞b，则ac2＞bc2

B．若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d C．若a＞|b|，则a＞b

11

D．若a＞b，则＜ ab

解：当c＝0时，A不成立；2＞1，3＞－1，而2－3＜1－(－1)，故B不成立；a＝2，b＝－1时，D不成立；由a＞|b|知a＞0，有a2＞b2.故选C.

5．(2015·云南模拟)若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是( )

A．a＋c≥b－c

B．(a－b)c2≥0

c2

2

2

所以＞.

ab＋bma＋mba＋ma

＞1，即·＞1?＞.故填

ab＋amb＋mab＋mb

8．(2015·江西模拟)设a＝lge，b＝(lge)2，c＝lge，则a，b，c的大小关系为________．

1解：因为e＜10，所以lge＜lg10＝，所以(lge)2

21＜·lge＝lge，即b＜c.又因为e＜e，所以lge＜lge，2即c＜a.故填b＜c＜a.

11ab

9．已知a＋b＞0，且a≠b，比较＋与2＋2的abba大小．

ab?11

＋ 解：＋－?ab?b2a2?a－bb－a11?＝2＋2＝(a－b)??a2－b2? ab

（b－a）（b＋a）

＝(a－b)·

a2b2

（a－b）2（a＋b）＝－.

a2b2而a＋b＞0，a≠b，故上式小于0.

11ab从而＋＜2＋2. abba

cd

10．已知下列三个不等式①ab＞0；②＞；③

abbc>ad.以其中两个作为条件，余下一个作结论，则可组成几个正确命题？

cdbc－ad

解：(1)对②变形＞?＞0，由ab＞0，bc

abab＞ad得②成立，所以①③?②. bc－ad

(2)若ab＞0，＞0，则bc＞ad，所以①②?

ab③.

bc－ad

(3)若bc＞ad，＞0，则ab＞0，所以②③?

ab①.

综上所述可组成3个正确命题． 11．设实数a，b，c满足 ①b＋c＝6－4a＋3a2， ②c－b＝4－4a＋a2.

试确定a，b，c的大小关系．

解：因为c－b＝(a－2)2≥0，所以c≥b， 又2b＝2＋2a2，所以b＝1＋a2，

1?23?2

所以b－a＝a－a＋1＝?a－2?＋＞0，

4所以b＞a，从而c≥b＞a.

C．ac>bc D.>0

a－b

解：A项：当c<0时，不等式a＋cb?a－b>0，c2≥0，故(a－b)c2≥0；C项：

c2

当c＝0时，ac＝bc；D项：当c＝0时，＝0.故选

a－bB.

6．(2016·全国卷Ⅰ)若a>b>1，0

alogaclogcba

式可以化为＞＝＝logab，此时>1，

blogbclogcab0

lgclgc11

化为<，进而＞，进而lga

lgalgblgalgb故在已知条件下选项D中的不等式不成立．故选C.

a＋ma

7．实数b＞a＞0，实数m＞0，比较与的大

b＋mb

a＋ma小，则________.

bb＋m解法一：(作差比较)：

a＋mb（a＋m）－a（b＋m）a

－＝＝

bb＋mb（b＋m）

m（b－a）

，

b（b＋m）

m（b－a）

因为b＞a＞0，m＞0，所以＞0，所以

b（b＋m）

a＋ma

＞. b＋mb

解法二(作商比较)：因为b＞a＞0，m＞0， 所以bm＞am?ab＋bm＞ab＋am＞0，

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－

－

c

(2015·云南模拟改编)已知a＋b＋c＝0，且a>b>c，求

a的取值范围．

解：因为a＋b＋c＝0，所以b＝－(a＋c)．又a>b>c， 所以a>－(a＋c)>c，且3a＞a＋b＋c＝0＞3c，

a＋cc

则a>0，c<0，所以1>－＞，

aa2c

＜－1，accc

即1＞－1－＞，所以 解得－2＜aaac

＞－2，a

1＜－.

2

1c

－2，－?.故的取值范围是?2??a

???8 / 9