2018年普通高等学校招生全国统一考试押题卷 理科数学（一）解析版 - 图文

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2018年普通高等学校招生全国统一考试押题卷

理科数学（一）

本试题卷共16页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设复数z?1?2i（i是虚数单位），则在复平面内，复数z2对应的点的坐标为（ ） A．??3,4? B．?5,4? C．??3,2? D．?3,4?

【答案】A

【解析】z?1?2i?z2??1?2i?2?1?4?4i??3?4i，所以复数z2对应的点为??3,4?，故选A． 2．已知集合M???x,y?x?y?2?，N???x,y?x?y?2?，则集合MN?（ ）

A．?0,2? B．?2,0?

C．??0,2??

D．??2,0??

【答案】D

【解析】解方程组??x?y?22，得?x?2?x?y??．故?y?0MN???2,0??．选D．

3．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的x?0，则一开始输入的x的值为（ ）

A．315314

B．78

C．16

D．32

【答案】C 【解析】i?1， （1）x?2x?1,i?2，

（2）x?2?2x?1??1?4x?3,i?3， （3）x?2?4x?3??1?8x?7,i?4， （4）x?2?8x?7??1?16x?15,i?5， 所以输出16x?15?0，得x?1516，故选C．

4．《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日共织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第十日所织尺数为（ ） A．9 B．10 C．11 D．12

【答案】B

【解析】设第一天织布a1尺，从第二天起每天比第一天多织d尺，由已知得：

??7a1?21d?28d?a，解得?aa1?1，d?1，∴第十日所织尺数为a10?a1?9d?10，故选B． 1?d?a1?41?7d?155．已知a?1.90.4，b?log0.41.9，c?0.41.9，则（ ） A．a?b?c

B．b?c?a C．a?c?b D．c?a?b

【答案】C

【解析】a?1.90.4?1.90?1，b?log0.41.9?log0.41?0，0?c?0.41.9?0.40?1，?a?c?b，故选C． 6．已知函数f?x??sAi?n??x??(A＞0?,＞?0＜,?的)部分图像如图所示，则函数g?x??Acos??x???图像的一个对称中心可能为（ ）

A．??2,0? B．?1,0?

C．?10,0?

D．?14,0?

【答案】C

【解析】由题意得A?23，2???2??6?2????????8，即f?x??23sin??8x????，

把点?2,?23?代入方程可得???3???3??4，所以g?x??23cos??8x?4??，可得函数g?x?的一个对称中

心为?10,0?，故选C．

7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若函数

f?x??13x3?bx2??a2?c2?ac?x?1无极值点，则角B的最大值是（ ）

A．?6 B．?4 C．?3 D．?2 【答案】C 【解析】函数f?x??13x?b223x??2a?c??a1c无?x极值点，则导函数无变号零点，

?x2?2bx?a2?c2?ac，??b2?a2?c2?ac≤0?cosB?a2?c2?b2f??x?2ac≥12 B??0,??，?B????0,???3??故最大值为：3．故答案为：C．

8．若函数f?x??2x?4?a存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则a的取值范围为（ ） A．?0,4? B．?0,+?? C．?3,4? D．?3,+??

【答案】C

【解析】如图，若f?x??2x?4?a存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则a??3，4?，故

选C．

9．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k（k?0且k?1）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P与A，B距离之比为2，当P，A，B不共线时，△PAB面积的最大值是（ ） A．22 B．2 C．2223 D．3 【答案】A

【解析】如图，以经过A，B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系；则：

2A??10，?，B?10，?，设P?x，y?，

PAy2PB＝2；??x?1???，两边平方并整理得：

x?1?2＝2?y2x2?y2?6x?1?0??x?3?2?y2?8．∴△PAB面积的最大值是12?2?22?22，选A．

10．欧阳修的《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，

自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3cm的圆面，中间有边长为1cm的正方形孔．现随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），则油滴落入孔中的概率为（ ）

A．14? B．4 C．19?9

D．58? 【答案】B

2【解析】如图所示，S?3?9?S4正?1，S圆????2???4，?正S?圆9?，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为49?，故选B． ?11．已知函数f?x????x?1x,x＞0, 若函数g?x??f?x??k?x?1?在???,1?恰有两个不同的零点，则

???x2?3,x≤0,实数k的取值范围是（ ） A．?1,3? B．?1,3?

C．?2,3?

D．?3,???

【答案】A

【解析】函数g?x??f?x??k?x?1?在???,1?恰有两个不同的零点，等价于y?f?x?与y?k?x?1??的图象恰有两个不同的交点，画出函数f?x????x?1x,x＞0,的图象，如图，y?k?x?1?的图象是过???x2?3,x≤0,定点??1,0?斜率为k的直线，当直线y?k?x?1?经过点?1,2?时，直线与y?f?x?的图象恰有两个交点，此时，k?1，当直线经过点?0,3?时直线与y?f?x?的图象恰有三个交点，直线在旋转过程中与y?f?x?的图象恰有两个交点，斜率在?1,3?内变化，所以实数k的取值范围是?1,3?．

12．已知椭圆y25?x2?1与抛物线x2?ay有相同的焦点F，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，

点A在抛物线上，且AF?4，则PA?PO的最小值为（ ） A．213 B．42 C．313

D．46

【答案】A

【解析】椭圆y25?x2?1，?c2?5?1?4，即c?2，则椭圆的焦点为?0,?2?，不妨取焦点?0,2?，

抛物线x2?ay?4??a??a?y2?4??y，?抛物线的焦点坐标为??0,4??，椭圆5?x2?1与抛物线x2?ay有相

同的焦点F，?a4?2，即a?8，则抛物线方程为x2?8y，准线方程为y??2，AF?4，由抛物线的定义得：?A到准线的距离为4，y?2?4，即A点的纵坐标y?2，又点A在抛物线上，

?x??4，不妨取点A坐标A?4,2?，A关于准线的对称点的坐标为B?4,?6?，则PA?PO?PB?PO≥OB，即O，P，B三点共线时，有最小值，最小值为

OB?42???6?2?16?36?52?213，故选A．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．已知平面向量a与b的夹角为?3，且b?1，a?2b?23，则a?__________．

【答案】2 【解析】a?2b?23，?a?2b2?12，即a2?4a?b?4b2?12，

?a2?4a?1?cos60??4?12?12，化简得：a2?2a?8?0，?a?2．

14．如果PP21，2，…，P10是抛物线C：y?4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，x10，

是抛物线C的焦点，若x1?x2??x10?10，则PF1?P2F??P10F?_________．

【答案】20

【解析】由抛物线方程y2?4x，可得p?2．

则PFp1?P2F??P10F?x1?pp2?x2?2??x10?2?10?5p?20，故答案为：20． 15．[2018·衡水金卷]△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2c?a?2b，当?C最大

时，S△ABCa2?b2?__________．

【答案】

3?320 ?2【解析】cosC?a2?b2?c2a2?b2??a?2b?2?2ab???2ab?38?ab?14?ba?24≥6?24， 当且仅当a?6b，取等号，??C的最大值为75，此时sinC?6?234， 1absinC1?6b?b?6?2∴S?ABC22343?3a2?b2?a2?b2??2?． ?63b???b220??故答案为：3?320．

?x?y?2≥015．若x，y满足约束条件??x?y?4≤0 ，则

y的取值范围为__________． ?x?1?y≥2【答案】??2?3,2?

??

【解析】画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示）．

yx?1表示可行域内的点M?x,y?与点P??1,0?连线的斜率．

由??x?y?4?0，解得?x?2?y?2??2 ，故得B?2,2?；

?y由??x?y?2?0，解得??y?2?x?0?y?2 ，故得A?0,2?．

因此可得kPA?2，k2PB?3， 结合图形可得

y?2?x?1的取值范围为??3,2??．答案：??2?3,2???

． 16．已知a，b，c是锐角△ABC的内角A，B，C所对的边，b?3，且满足2c?abcosB?cosA，则a?c的取值范围是__________． 【答案】?3,23?? 【解析】∵

2c?abcosB?cosA， ∴由正弦定理可得?2sinC?sinA?cosB?sinBcosA?0，即sinC?2cosB?1??0， ∵sinC?0，∴cosB?12，∵B为△ABC的内角，∴B??3，∵b?3，

∴根据正弦定理可知asinA?bsinB?csinC?2， ∴a?c?2sinA?2sinC?2sin??2??3?C????2sinC?23sin???C???6??， ∵△ABC是锐角三角形，∴?6?C??2，∴a?c的取值范围为?3,23??，故答案为?3,23??． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．设正项等比数列?an?，a4?81，且a2，a33的等差中项为2?a1?a2?． （1）求数列?an?的通项公式；

（2）若bn?log3a2n?1，数列?bn?的前n项和为Sn，数列?cn?满足cn?14Sn?1，Tn为数列?cn?的前n项和，求Tn．

【答案】（1）an?3n；（2）Tnn?2n?1．