2018年山东省济南市高考数学一模试卷(理科)(J)

得前22圈共有2024个数，则??2024=0，

则??2018=??2024?(??2024+??2023+?+??2019)，

??2024所在点的坐标为(22,23)，则??2024=22+22=44， ??2023所在点的坐标为(21,22)，则??2023=21+22=43， ??2022=20+22=42，??2021=19+22=41，??2020=18+22=40，??2019=17+22=39，

则??2024+??2023+?+??2019=249，

则??2018=??2024?(??2024+??2023+?+??2019)=0?249=?249， 故答案为：?249

根据点的变化规律得到第n圈共有8n个点，这8n项的和也是0，然后利用整体法进行转化求解即可．

本题主要考查归纳推理的应用，根据条件寻找规律是解决本题的关键.综合性较强，难度较大．

三、解答题（本大题共7小题，共7.0分）

17. 在△??????中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且??cos?????cos??=2??．

(1)证明：tan??=?3tan??；

(2)若??2+??2=??2+√3????，且△??????的面积为√3，求a． 【答案】(1)证明：??cos?????cos??=2??，

根据正弦定理可得：sin??cos???cos??sin??=2sin??=2sin(??+??)， 展开得：sin??cos???cos??sin??=2(sin??cos??+cos??sin??)， 整理得：sin??cos??=?3cos??sin??，所以，tan??=?3tan??． (2)解：由已知得：??2+??2???2=√3????，∴cos??=

??

??2+??2???2

2????

=

√3????2????

=

√3， 2

3由0

3

由0

21

2??3

2??

，所以??=6，??=??， 3

=√3，得：??=2．

??

=×

2

1

√32??2

【解析】(1)利用正弦定理以及三角形的内角和，结合两角和与差的三角函数，化简求解即可．

(2)利用余弦定理求出A，求出B，得到C，然后求解三角形的面积即可． 本题考查三角形的解法，余弦定理以及正弦定理的应用，考查计算能力．

18. 如图1，在高为6的等腰梯形ABCD中，????//????，且????=6，????=12，将它沿

对称轴????1折起，使平面??????1??⊥平面??????1??，如图2，点P为BC的中点，点E在线段AB上(不同于A，B两点)，连接OE并延长至点Q，使????//????．

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(1)证明：????⊥平面PAQ；

(2)若????=2????，求二面角??????????的余弦值．

【答案】(1)解法一(几何法)

证明：取????1的中点为F，连接AF，PF；∴????//????， ∵????//????，∴????//????，∴??、F、A、Q四点共面， 又由图1可知????⊥????1， ∵平面??????1??⊥平面??????1??，

且平面??????1??∩平面??????1??=????1， ∴????⊥平面??????1??， ∴????⊥平面??????1??， 又∵?????平面??????1??， ∴????⊥????．

在直角梯形??????1??中，????=??1??，∠??????=∠????1??，∴△??????≌△????1??，∴∠??????=∠??????1，

∴∠??????+∠??????=∠??????1+∠??????=90°， ∴????⊥????．

∵????∩????=??，且?????平面PAQ，?????平面PAQ， ∴????⊥平面PAQ．

解法二(向量法)

由题设知OA，OB，????1两两垂直，所以以O为坐标原点，OA，OB，????1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，设AQ的长度为m，

则相关各点的坐标为??(0,0，0)，??(6,0，0)，??(0,6，0)，??(0,3，6)，??(3,0，6)，??(6,m，0)．

∵点P为BC中点，∴??(0,2,3)，

9

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9

????? =(3,0,6)，????? ????=(6,???2,?3)， ∴?????????=(0,??,0)，?????

????? ?????? ????? ?????? ∵?????????=0，?????????=0， ????? ⊥????? ????? ⊥????? ∴?????????，?????????，且????? ????与????? ????不共线， ∴????⊥平面PAQ．

(2)∵????=2????，????//????，∴????=2????=3，

????? =(?6,3,0)，????? 则??(6,3，0)，∴?????????=(0,?3,6)．

????? 设平面CBQ的法向量为?1=(??,??,??)，

?????? ?6??+3??=0?????? 1?????=0∵{????? ，∴{?3??+6??=0，令??=1，则??=2，??=1，则?1=(1,2,1)， ????? ?????? ?????=01????? 又显然，平面ABQ的法向量为?2=(0,0,1)，

设二面角??????????的平面角为??，由图可知，??为锐角，

12

则cos??=||??|=????? |?|??????? |

1

2

1

??????? ????????

√6． 6

PF；(1)解法一(几何法)：【解析】取????1的中点为F，连接AF，推出????//????，证明????⊥

????1，得到????⊥平面??????1??，证明????⊥平面??????1??，即可证明????⊥????.然后证明????⊥????.得到结果????⊥平面PAQ．

解法二(向量法)：由题设知OA，OB，????1两两垂直，所以以O为坐标原点，OA，OB，????1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AQ的长度

????? ?????? 为m，求出相关的坐标，证明?????????=0，然后证明????⊥平面PAQ．

(2)求出平面CBQ的法向量，平面ABQ的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角??????????的平面角的余弦函数值即可．

本题考查向量法求解二面角的平面角的大小，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．

19. 2018年2月22日上午，山东省省委、省政府在济南召开山东省全面展开新旧动能

转换重大工程动员大会，会议动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程.某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品.如图是设备改造前的样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的样本的频数分布表． 表1：设备改造后样本的频数分布表 质量指标值 频数 4 [15,20) [20,25) 36 [25,30) 96 [30,35) 28 [35,40) 32 4 [40,45] 第11页，共17页

(1)完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关； 合格品 不合格品 合计 设备改造前 设备改造后 合计 (2)根据图3和表1提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；

(3)企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品进行等级细分，质量指标值落在[25,30)内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在[20,25)或[30,35)内的定为二等品，每件售价180元；其它的合格品定为三等品，每件售价120元.根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为??(单位：元)，求X的分布列和数学期望． 附： ??(??2≥??0) ??0 0.150 2.072 2

0.100 2.706 0.050 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 ??(?????????)2 ??=

(??+??)(??+??)(??+??)(??+??)

【答案】解：(1)根据设备改造前的样本的频率分布直方图和设备改造后的样本的频数分布表．

完成下面的2×2列联表： 合格品 不合格品 合计 ??(?????????)2

设备改造前 172 28 200 设备改造后 192 8 200 合计 364 36 400 将2×2列联表中的数据代入公式计算得： ??2=(??+??)(??+??)(??+??)(??+??)=

400×(172×8?28×192)2

200×200×364×36

≈12.210．

∵12.210>6.635，

∴有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关．

(2)根据设备改造前的样本的频率分布直方图和设备改造后的样本的频数分布表． 可知，设备改造前产品为合格品的概率约为200=50， 设备改造后产品为合格品的概率约为200=25；

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192

24172

43