2018一轮北师大版(理)数学教案：选修4-5 第1节 绝对值不等式 Word版含解析

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(2)若f(x)≤1的解集为[0,2]，m＋2n＝a(m＞0，n＞0)，求证：m＋2n≥4.

【导学号：57962488】

[解] (1)当a＝2时，不等式为|x－2|＋|x－1|≥4， 7

①当x≥2时，不等式可化为x－2＋x－1≥4，解得x≥2； 17

②当2＜x＜2时，不等式可化为2－x＋x－1≥4， 不等式的解集为?；

1

③当x≤2时，不等式可化为2－x＋1－x≥4， 1

解得x≤－2.

1??7??

－∞，－，＋∞???. 综上可得，不等式的解集为?∪2??2??(2)证明：因为f(x)≤1，即|x－a|≤1，

解得a－1≤x≤a＋1，而f(x)≤1的解集是[0,2]． ??a－1＝0，

所以?解得a＝1，

??a＋1＝2，11

所以m＋2n＝1(m＞0，n＞0)， ?11?

所以m＋2n＝(m＋2n)?m＋2n?

??m2n

＝2＋2n＋m≥2＋2

m2n2n·m＝4，

当且仅当m＝2，n＝1时取等号.

绝对值三角不等式性质的应用

对于任意的实数a(a≠0)和b，不等式|a＋b|＋|a－b|≥M·|a|

恒成立，记实数M的最大值是m.

(1)求m的值；

(2)解不等式|x－1|＋|x－2|≤m.

[解] (1)不等式|a＋b|＋|a－b|≥M·|a|恒成立，

|a＋b|＋|a－b|即M≤对于任意的实数a(a≠0)和b恒成立，只要左边恒小于

|a|或等于右边的最小值.

因为|a＋b|＋|a－b|≥|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|， 当且仅当(a－b)(a＋b)≥0时等号成立， |a＋b|＋|a－b|

|a|≥|b|时，≥2成立，

|a||a＋b|＋|a－b|

也就是的最小值是2，即m＝2.

|a|(2)|x－1|＋|x－2|≤2.

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法一：利用绝对值的意义得：2≤x≤2. 法二：①当x＜1时，不等式为－(x－1)－(x－2)≤2， 11

解得x≥2，所以x的取值范围是2≤x＜1. ②当1≤x≤2时，不等式为(x－1)－(x－2)≤2， 得x的取值范围是1≤x≤2.

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③当x＞2时，原不等式为(x－1)＋(x－2)≤2,2＜x≤2.

??1?5?综上可知，不等式的解集是x?2≤x≤2???

2分

5分

10分

8分

??

?. ??

10分

[规律方法] 1.(1)利用绝对值不等式性质定理要注意等号成立的条件：当ab≥0时，|a＋b|＝|a|＋|b|；当ab≤0时，|a－b|＝|a|＋|b|；当(a－b)(b－c)≥0时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|.

(2)对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x＋a|－|x－b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．

2．第(2)问易出现解集不全或错误．对于含绝对值的不等式，不论是分段去绝对值符号还是利用几何意义，都要不重不漏．

[变式训练2] 对于任意实数a，b，已知|a－b|≤1，|2a－1|≤1，且恒有|4a－3b＋2|≤m，求实数m的取值范围．

[解] 因为|a－b|≤1，|2a－1|≤1， 1?1?

所以|3a－3b|≤3，?a－2?≤2，

??

1?5???

a－2?＋? 所以|4a－3b＋2|＝??3a－3b?＋???2??1?515?

≤|3a－3b|＋?a－2?＋2≤3＋2＋2＝6，

??则|4a－3b＋2|的最大值为6，

所以m≥|4a－3b＋2|max＝6，m的取值范围是[6，＋∞).

绝对值不等式的综合应用 (2015·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a＞0. (1)当a＝1时，求不等式f(x)＞1的解集；

(2)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围． [解] (1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0. 当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解； 2

当－10，解得30，解得1≤x＜2. 所以f(x)>1

??2?

的解集为?x?3

???

4分

8分

10分

??

?. ??

4分

x－1－2a，x<－1，??

(2)由题设可得f(x)＝?3x＋1－2a，－1≤x≤a，

??－x＋1＋2a，x>a.

?2a－1?

所以函数f(x)的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A?，0?，

3??12

B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)．因此△ABC的面积S＝2|AB|·(a＋1)＝3(a＋1)2. 8分

2

由题设得(a＋1)2>6，故a>2.

3所以a的取值范围为(2，＋∞).

10分

[规律方法] 1.研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合解决是常用的思维方法．

2．第(2)问求解要抓住三点：(1)分段讨论，去绝对值符号，化f(x)为分段函数；(2)数形结合求△ABC的三个顶点坐标，进而得出△ABC的面积；(3)解不等式求a的取值范围．

[变式训练3] (2016·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a. (1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；

(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，恒有f(x)＋g(x)≥3，求实数a的取值范围．

[解] (1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2. 解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3. 因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}.

4分

(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|(2x－a)＋(1－2x)|＋a＝|1－a|＋a，

6分

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当x＝2时等号成立，所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3. ①