2018年高考数学 黄金100题系列 第20题 函数零点的个数问题 理

【解析】试题分析: （1）根据曲线y?f?x?在0,f?0?处的切线与x?y?0平行可得: f??0??a，进而求出a值；（2）①当x???????????,0?时， f??x??ex?xcosx?ex?1sinx?0，函数f?x?在??,0??2??2?????单调递增，根据零点存在性定理可得: f?x?在??恒成立，构造函数??x??ex?x,x??0,又x??0,??????,0?上只有一个零点．②当x??0,?时， f?x??0?2??4????，求导判断单调性与最值可得ex?x?0， ??4?????4?x时， ，所以ecosx?xsinx，即f?x??g?x?，故函数f?x?在?0,cosx?sinx?0??????4?上没

有零点，③当x??????,?时， f??x??ex?cosx?sinx??sinx?xcosx?0， ?42?所以函数f?x?在?????????,?上单调递减，根据零点存在性定理可得:函数f?x?在?,?上有且只有一个零?42??42?点，综上所述x???????,?时，函数f?x?有两个零点． ?22?x试题解析:解：（1）依题意f??0??1，故f??x??ae??cosx?sinx??sinx?xcosx， 故f??0??a，解得a?1． （2）①当x??????,0?时， f??x??ex?xcosx?ex?1sinx，此时ex?xcosx?0， ?2????????ex?1sinx?0，

???,0?单调递增， 2?????,0?至多有一个零点，又f?0??1?0,2???函数f?x?在??故函数f?x?在??????f??????0，

2?2?而且函数f?x?在??②当x??0,??????,0?上是连续不断的，因此函数f?x?在??,0?上只有一个零点． ?2??2?x????4??时， f?x??0恒成立，证明如下：设??x??e?x,x??0,???x?，则?x?e?1?0，????4?所以??x?在?0,

?????????xx?0,x?e?x?0上单调递增，所以时， ，所以，又?x??0?0??????0,???44?????4???x时， cosx?sinx?0，所以ecosx?xsinx，即f?x??g?x?，故函数f?x?在?0,???4?上没有零点，

③当x??????,?时， f??x??ex?cosx?sinx??sinx?xcosx?0， ?42?所以函数f?x?在?????????,?上单调递减，故函数f?x?在?,?至多有一个零点， ?42??42?2???????4e?又f??????0,f424????因此，函数f?x?在?综上所述x???

????????????0，而且函数在,?上是连续不断的， fx?????422?2???????,?上有且只有一个零点． 4?2?????,?时，函数f?x?有两个零点． 22??