2018年高考数学 黄金100题系列 第20题 函数零点的个数问题 理

A．f?x??sinx?lgx B．f?x??sinx?lgx【答案】D

C．f?x??sinx?lgx D．f?x??sinx?lgx

得解：本函数图象的交点、函数的零点、方程的根往往是“知一求二”，解答时要先判断哪个好求解就转化为哪个，判断函数y?f?x?零点个数的常用方法：（1） 直接法： 令f?x??0,则方程实根的个数就是函数零点的个；（2） 零点存在性定理法：判断函数在区间a,b上是连续不断的曲线，且f?a?f?b??0,再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；（3） 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题． 8．【2018四川绵阳高三第一次诊断性考试】函数函数A．

的图象与函数 B．

C．

（ D．

，且

满足

，且当

时，

．若

??）的图象有且仅有4个交点，则的取值集合为（ ）

【答案】C 【解析】因为函数

满足

，所以函数的周期为又在一个周期

内，函数解析式为

，所以可作出函数图象，在同一坐标系内作函数

四个交点，只需

，所以

，故选C．

的图象，要使两个函数图象有且仅有

sinx?x,x?1 有4个零点，则实数m9．【2018安徽十大名校高三11月联考】若函数f?x??{32x?9x?24x?m,x?1的取值范围是（ ）

A．?16,20? B．??20,?16? C．???,?20????16,??? D．???,16???20,??? 【答案】B

【解析】 当x?1时， f??x??cosx?1?0恒成立，又f?0??0，

则函数f?x?在???,1?上有且只有1个零点；

当x?1时，函数f??x??3x?18x?24?3?x?2??x?4?，则函数f?x?在?1,2?上单调递增，在?2,4?上

2单调递减，在?4,???上单调递增，

所以此时函数f?x?的极大值为f?2??2??m，极小值为f?4??16?m?f?1?， 要使得f?x?有4个零点，则{16?m?020?m?0 ，解得?20?m??16，故选B．

【名师点睛】本题主要考查了根据函数的零点求解参数的取值范围问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值等知识点的综合应用，着重考查了数形结合思想和转化与化归思想的应用，解答中把函数的零点问题转化为函数的图象与x的交点个数，利用函数的极值求解是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．

10．【2018江苏淮安盱眙中学高三第一次学情调研】已知函数f?x??2x?m的图象与函数g?x??lnx的

2图象有四个交点，则实数m的取值范围为________． 【答案】???,???1??ln2? 2?1?1??1?2，+? 上个递增，由可得函数 在hx?2x?m?lnxh'x?4x??0?????0，? 上个递减，所以函??x?2??2?11?1??1??1?2数h?x??2x?m?lnx最小值为h???2???m?ln，令h???0 ，可得m??ln2，此时函

22?2??2??2?数h?x??2x?m?lnx有两个零点，故函数f?x??2x?m的图象与函数g?x??lnx的图象有四个交

222点，实数m的取值范围为???,???11????ln2?，故答案为???,??ln2?． 22???【方法点睛】本题主要考查函数图象的交点、函数的零点、方程的根，属于难题．函数图象的交点、函数的零点、方程的根往往是“知一求二”，解答时要先判断哪个好求解就转化为哪个，判断函数y?f?x?零点个数的常用方法：（1） 直接法： 令f?x??0,则方程实根的个数就是函数零点的个；（2） 零点存在性定理法：判断函数在区间a,b上是连续不断的曲线，且f?a?f?b??0,再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；（3） 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间

??内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题．

1?1,0?x?1fx?1?11．【2018安徽滁州高三9月联合质量检测】已知f?x??{? ，若方程

x,?1?x?0f?x??ax?2a?0?a?0?有唯一解，则实数a的取值范围是__________．

【答案】?,???

?1?3??

由图可知： a?1． 3【名师点睛】根据函数零点求参数取值，也是高考经常涉及的重点问题， （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；

（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；

（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．

12．【2018辽宁庄河高中、沈阳二十中高三上学期第一次联考】已知函数f?x??2x?aa?R?将x?xy?f?x?的图象向右平移两个单位，得到函数y?g?x?的图象．

（1）求函数y?g?x?的解析式；

（2）若方程f?x??a在x?0,1上有且仅有一个实根，求a的取值范围． 【答案】（1）g?x??2x?2???a2x?2（2）

14?a? 23

（1）g?x??2x?2?a2x?2（2）设2x?t，则t?1,2原方程可化为t2?at?a?0，于是只须t2?at?a?0??，

在t?1,2上有且仅有一个实根．

????0a2 ② 法1：设k?t??t?at?a，对称轴t?，则k?1??k?2??0①．或{a1??222由①得?1?2a??4?3a??0，即?2a?1??3a?4??0，

14?a?． 23a2?4a?014由②得{ 无解，则?a?．

232?a?4111?1?1?1?法2：由t?at?a?0， t??1,2?，得????， t??1,2?，设u?，则u??,1?， ?u2?u．

taa?t?t?2?22记g?u??u?u，则g?u??u?u在?,1?上是单调函数，因为故要使题设成立，只须

22?1??2?4114?1?1g????g?1?．即??2．从而?a?．

3a23?2?a【名师点睛】在解答指数函数的综合题目时可以采用换元法，转化为一元二次函数的问题，根据题目要求，如需要分类讨论，再加入分类讨论．

13．【2018河南林州一中高三8月调研】已知函数f?x??ae?cosx?x?sinx，且曲线y?f?x?在0,f?0?x??处的切线与x?y?0平行． （1）求a的值； （2）当x???????,?时，试探究函数f?x?的零点个数，并说明理由． 22??【答案】（1）a?1（2）见解析